Merke
Für jedes Polynom $f(x)$ mit komplexen Koeffizienten ist eine Darstellung als Produkt von $n$ Linearfaktoren möglich.
$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \, ... \, + a_1 x + a_0$
$\leftrightarrow \, f(x) = a_n( x - b_1) \, ... \, (x - b_n)$
Die komplexen Zahlen $b_1, \, ... \, , b_n$ sind die Nullstellen von $ f(x)$.
Beispiel
Zerlege das Polynom $x^4 - 1$ in Linearfaktoren!
$x^4 - 1= (x-1)(x-i)(x+1)(x+i) \;\;$ (Beachte, dass $i^2 = -1$!)
Probe:
$(x-1)(x-i)(x+1)(x+i)$
$= (x^2 -1^2) (x^2 - i^2)$
$= (x^2 -1) (x^2 + 1)$
$= x^4 + x^2 - x^2 - 1$
$= x^4 - 1$
Jedes Polynom $n$-ten Grades lässt sich in ein Produkt von $n$ Faktoren zerlegen.
Hierbei ist anzumerken, dass jede ganzrationale Gleichung $n$-ten Grades mit komplexen Zahlen genau $n$ Lösungen besitzt. Im obigen Beispiel ist die Gleichung $4$-ten Grades, somit müssen $4$ Lösungen existieren, um eine Nullstelle zu erhalten. Die Lösungen lauten $1; -1; i$ und $-i$.
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