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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Fundamentalsatz der Algebra

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Fundamentalsatz der Algebra

Merke

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Für jedes Polynom $f(x)$ mit komplexen Koeffizienten ist eine Darstellung als Produkt von $n$ Linearfaktoren möglich.

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \, ... \, + a_1 x + a_0$

$\leftrightarrow \, f(x) = a_n( x - b_1) \, ... \, (x - b_n)$

Die komplexen Zahlen $b_1, \, ... \, , b_n$ sind die Nullstellen von $ f(x)$.

Beispiel

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Zerlege das Polynom $x^4 - 1$ in Linearfaktoren!

$x^4 - 1= (x-1)(x-i)(x+1)(x+i) \;\;$ (Beachte, dass $i^2 = -1$!)

Probe: 

$(x-1)(x-i)(x+1)(x+i)$

$= (x^2 -1^2) (x^2 - i^2)$

$= (x^2 -1) (x^2 + 1)$

$= x^4 + x^2 - x^2 - 1$

$= x^4 - 1$  

Jedes Polynom $n$-ten Grades lässt sich in ein Produkt von $n$ Faktoren zerlegen.

Hierbei ist anzumerken, dass jede ganzrationale Gleichung $n$-ten Grades mit komplexen Zahlen genau $n$  Lösungen besitzt. Im obigen Beispiel ist die Gleichung $4$-ten Grades, somit müssen $4$ Lösungen existieren, um eine Nullstelle zu erhalten. Die Lösungen lauten $1; -1; i$ und $-i$.