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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Fundamentalsatz der Algebra

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Fundamentalsatz der Algebra

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Für jedes Polynom $\ f(x)$ mit komplexen Koeffizienten ist eine Darstellung als Produkt von  $n$  Linearfaktoren möglich.

$\ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 $

$\leftrightarrow \ f(x) = a_n( x - b_1)...(x - b_n)$

Die komplexen Zahlen $\ b_1,...,b_n$ sind die Nullstellen von $ f(x)$

Beispiel

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Zerlege folgendes Polynom  $\ x^4 - 1$   in Linearfaktoren.

$\ x^4 - 1= (x-1)(x-i)(x+1)(x+i)$ [Hier zu beachten $\ i^2 = -1$]

Die Probe: 

$\ (x-1)(x-i)(x+1)(x+i)$

$\ = (x^2 -1^2) (x^2 - i^2)$

$\ = (x^2 -1) (x^2 + 1)$

$\ = x^4 + x^2 - x^2 - 1$

$\ = x^4 - 1$  

Jedes Polynom $n$ -ten Grades lässt sich in ein Produkt von $n$ -Faktoren zerlegen.

Hierbei ist anzumerken, dass jede ganzrationale Gleichung  $n$-ten  Grades mit komplexen Zahlen genau $n$  Lösungen besitzt. Im obigen Beispiel ist die Gleichung $4$-ten Grades, somit müssen $4$ Lösungen existieren um eine Nullstelle zu erhalten. Die Lösungen sind $[1; -1; i; -i]$.