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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Diagonalisierbarkeit

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Diagonalisierbarkeit

Es ist sinnvoll eine gegebene quadratische Matrix in eine Diagonalmatrix zu überführen, weil sich die Matrizenaddition, die Skalarmultiplikation und die Matrizenmultiplikation vereinfachen (wie im vorherigen Abschnitt gezeigt). Es gibt aber noch weitere Vorteile, die eine Diagonalmatrix aufweist. Im Folgenden werden einige genannt:

  • die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen
  • der Rang einer Diagonalmatrix entspricht den Einträgen auf der Hauptdiagonalen, sofern ungleich Null.
  • die Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind die Einträge auf den Hauptdiagonalen mit den kanonischen Einheitsvektoren als Eigenvektoren

Definition der Diagonalisierbarkeit

Eine $n \times n$-Matrix $A$ mit Einträgen aus einem Körper $K$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Methode

1. Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren

2. Die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert $\lambda_i$.

Zu 1): Sind für das charakteristische Polynom einer $n \times n$-Matrix weniger als $n$ Nullstellen gegeben, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar.

Zu 2):

Geometrische Vielfachheit: Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren

Algebraische Vielfachheit: Anzahl der Eigenwerte, wobei die Vielfachheit der Nullstellen mit berücksichtigt werden muss.

Sind beide identisch, also Eigenwerte und Eigenvektoren, so ist die Matrix diagionalisierbar!

Wie eine Matrix auf Diagonalisierbarkeit geprüft wird zeigen die nachfolgenden Abschnitte.