ZU DEN KURSEN!

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Matrizenmultiplikation

Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Matrizenmultiplikation

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Matrizenmultiplikation

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Zwei Matrizen können miteinander multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der 1. Matrix gleich der Zeilenanzahl der 2. Matrix ist. 

Wie bereits im vorherigen Kapitel erwähnt, ist das Matrixprodukt NICHT kommutativ. Wenn Matrix $A$  mit Matrix $B$ multipliziert wird, ergibt sich ein anderer Wert, als wenn Matrix $B$ mit Matrix $A$ multipliziert wird. Bitte beachte, dass wenn $AB$ existiert, $BA$ nicht automatisch existieren muss.

Durchführung der Matrizenmultiplikation

Gegeben seien die Matrizen $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix}$.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Die Multiplikation der beiden Matrizen erfolgt durch:

$AB = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} & a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} & a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} \end{pmatrix}$

 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Bei der Matrizenmultiplikation gilt: Zeile mal Spalte!

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Gegeben seien die Matrizen $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 11 & 14 \end{pmatrix}$. Berechne  $AB\,$!

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 11 & 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 + 22 & 12 + 28 \\ 40 + 55 & 48 + 70 \\ 70 + 88 & 84 + 112 \end{pmatrix}$

$ = \begin{pmatrix} 32 & 40 \\ 95 & 118 \\ 158 & 196 \end{pmatrix}$

$AB$ liefert ein Ergebnis, da die Spaltenanzahl von $A$ gleich der Zeilenanzahl von $B$ ist. Allerdings liefert in diesem Beispiel $BA$ kein Ergebnis, da die Spaltenanzahl von $B$ (2 Spalten) nicht gleich der Zeilenanzahl von $A$ (3 Zeilen) ist.

Rechenregeln zur Matrizenmultiplikation

  1. $B(A_1 + A_2) = A_1B + A_2B, \; \; A(B_1 + B_2) = AB_1 + AB_2$

  2. $\alpha(AB) = (\alpha A)B = A(\alpha B)$

  3. $A(BC) = (AB)C$

  4. $EA = AE = A$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Gegeben sei die Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$. Berechne $EA$ sowie $AE \,$!

Die Matrix $A$ hat 3 Spalten und 2 Zeilen. Um $EA$ zu berechnen, wird eine Einheitsmatrix benötigt, welche 2 Spalten besitzt. Denn es gilt: Die Spaltenanzahl der 1. Matrix muss gleich der Zeilenanzahl der 2. Matrix sein (und die Einheitsmatrix stellt in diesem Fall die 1. Matrix dar).

$EA = \begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

Um $AE$ zu berechnen, wird eine Einheitsmatrix benötigt, welche 3 Zeilen besitzt, denn die Einheitsmatrix stellt in diesem Fall die 2. Matrix dar:

$AE = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Die Einheitsmatrix zeichnet sich dadurch aus, dass ihre Diagonale aus Einsen besteht und die restlichen Elemente aus Nullen.