Das Spatprodukt

Das Spatprodukt stellt eine Kombination aus Skalar- und Vektorprodukt dar. Es wird aus je drei Vektoren gebildet. 

Schreibweise: [$\vec{a},\vec{b},\vec{c}] :=\vec{a} \cdot (\vec{b}$ x $\vec{c}):=\vec{b} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{c}):=\vec{c} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{b})$.

Vektorprodukt vs. Spatprodukt

Anwendungsbeispiel: Spatprodukt

Zuerst empfiehlt es sich, die 3 Vektoren in eine Matrix zu übertragen.

$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]= \left(\begin{array}{ccc} 3 & 5 & 6 \\ 6 & -1 & -3 \\ -2 & 7 & 8 \end{array}\right)$

Die Berechnung des Spatprodukts wird wie folgt vorgenommen:

Unter die Ausgangsmatrix werden die ersten beiden Zeilen der Matrix angefügt. Es wird dann diagonal vorgegangen. Beginnend mit dem ersten Wert in der ersten Zeile der Matrix wird nun Diagonal von links nach rechts unten multipliziert, bis der Rand der Matrix erreicht ist. Dieses Produkt wird dann mit der nächsten Diagonalen addiert. Die Anzahl an Zahlen bei der ersten Multiplikation muss dabei beibehalten werden. In diesem Beispiel sind dies 3 Zahlen. Es können also drei Diagonalen gebildet werden (grün). Die vierte Diagonale würde nur noch 2 Zahlen beinhalten. Alle entstandenen Produkte werden miteinander addiert. Danach folgt die Betrachtung der letzten Zahl aus der ersten Reihe. Hier wird nun von rechts nach links unten diagonal multipliziert. Die entstandenen Produkte werden hier jedoch subtrahiert. Am Ende der Rechnung ergibt sich das Volumen des Körpers. 

Berechnung des Spatprodukts

Die Berechnung des Spatprodukts ergibt sich dann wie folgt:

$D =  (3 \cdot (-1) \cdot 8) + (6 \cdot 7  \cdot 6) + ((-2) \cdot 5 \cdot (-3) ) - (6 \cdot (-1) \cdot (-2)) - ((-3) \cdot 7 \cdot 3) - (8 \cdot 5 \cdot 6) = 69$

also $V = 69$ Volumeneinheiten.