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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Das Spatprodukt

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Das Spatprodukt

Das Spatprodukt stellt eine Kombination aus Skalar- und Vektorprodukt dar. Es wird aus je drei Vektoren gebildet. 

Schreibweise: [$\vec{a},\vec{b},\vec{c}] :=\vec{a} \cdot (\vec{b}$ x $\vec{c}):=\vec{b} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{c}):=\vec{c} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{b})$.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Der von den Vektoren aufgespannte Spat hat das Volumen $V = |[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]|$.

Im Umkehrschluss bedeutet dies:

1.Liegen alle 3 Vektoren in einer Ebene so verschwindet das Spatprodukt, also

$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = 0$.

2.Ist einer der Vektoren ein Nullvektor, so verschwindet das Spatprodukt ebenfalls.
Spatprodukt Vektorprodukt
Spatprodukt vs. Vektorprodukt

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Bestimme das Volumen des Spats der 3 Vektoren $\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ -2 \end{array}\right)$, $\vec{b}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ -1 \\ 7\end{array}\right)$, $\vec{c} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ -3 \\ 8\end{array}\right)$.

Zuerst ist empfiehlt es sich die 3 Vektoren in eine Matrix zu übertragen.

$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]= \left(\begin{array}{ccc} 3 & 5 & 6 \\ 6 & -1 & -3 \\ -2 & 7 & 8 \end{array}\right)$

Die Berechnung des Spatprodukts wird wie folgt vorgenommen:

Unter die Ausgangsmatrix werden die ersten beiden Zeilen der Matrix angefügt. Es wird dann diagonal vorgegangen. Beginnend mit dem ersten Wert in der Matrix wird nun Diagonal von links nach rechts unten mulipliziert, bis der Rand der Matrix erreicht ist. Dieses Produkt wird dann mit der nächsten Diagonalen addiert. Die Anzahl an Zahlen bei der ersten Mulikation muss dabei beibehalten werden. In diesem Beispiel sind dies 3 Zahlen. Es können also drei Diagonalen gebildet werden (grün). Die vierte Diagonale würde nur noch 2 Zahlen beinhalten. Alle entstandenen Produkte werden miteinander addiert. Danach folgt die Betrachtung der letzten Zahl aus der ersten Reihe. Hier wird nun von rechts nach links unten diagonal multipliziert. Die entstandenen Produkte werden hier aber subtrahiert. Am Ende ergibt sich das Volumen des Körpers. 

Spatprodukt berechnen
Spatprodukt berechnen

Die Berechnung des Spatprodukts ergibt sich dann wie folgt:

$D =  (3 \cdot (-1) \cdot 8) + (6 \cdot 7  \cdot 6) + ((-2) \cdot 5 \cdot (-3) ) - (6 \cdot (-1) \cdot (-2)) - ((-3) \cdot 7 \cdot 3) - (8 \cdot 5 \cdot 6) = 69$

also $V = 69$ Volumeneinheiten.