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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Das Spatprodukt

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Das Spatprodukt

Inhaltsverzeichnis

Das Spatprodukt stellt eine Kombination aus Skalar- und Vektorprodukt dar. Es wird aus je drei Vektoren gebildet. 

Schreibweise: [$\vec{a},\vec{b},\vec{c}] :=\vec{a} \cdot (\vec{b}$ x $\vec{c}):=\vec{b} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{c}):=\vec{c} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{b})$.

Merke

Hier klicken zum AusklappenDer von den Vektoren aufgespannte Spat hat das Volumen $V = |[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]|$.

Im Umkehrschluss bedeutet dies:

1. Liegen alle 3 Vektoren in einer Ebene, so ergibt ihr Spatprodukt null:

$\;\;\;[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = 0$

2. Ist einer der Vektoren ein Nullvektor, so ergibt das Spatprodukt ebenfalls null.
Spatprodukt Vektorprodukt
Vektorprodukt vs. Spatprodukt

 

Anwendungsbeispiel: Spatprodukt

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenBestimme das Volumen des Spats der 3 Vektoren $\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ -2 \end{array}\right)$, $\vec{b}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ -1 \\ 7\end{array}\right)$ und $\vec{c} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ -3 \\ 8\end{array}\right)$!

Zuerst empfiehlt es sich, die 3 Vektoren in eine Matrix zu übertragen.

$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]= \left(\begin{array}{ccc} 3 & 5 & 6 \\ 6 & -1 & -3 \\ -2 & 7 & 8 \end{array}\right)$

Die Berechnung des Spatprodukts wird wie folgt vorgenommen:

Unter die Ausgangsmatrix werden die ersten beiden Zeilen der Matrix angefügt. Es wird dann diagonal vorgegangen. Beginnend mit dem ersten Wert in der ersten Zeile der Matrix wird nun Diagonal von links nach rechts unten multipliziert, bis der Rand der Matrix erreicht ist. Dieses Produkt wird dann mit der nächsten Diagonalen addiert. Die Anzahl an Zahlen bei der ersten Multiplikation muss dabei beibehalten werden. In diesem Beispiel sind dies 3 Zahlen. Es können also drei Diagonalen gebildet werden (grün). Die vierte Diagonale würde nur noch 2 Zahlen beinhalten. Alle entstandenen Produkte werden miteinander addiert. Danach folgt die Betrachtung der letzten Zahl aus der ersten Reihe. Hier wird nun von rechts nach links unten diagonal multipliziert. Die entstandenen Produkte werden hier jedoch subtrahiert. Am Ende der Rechnung ergibt sich das Volumen des Körpers. 

Spatprodukt berechnen
Berechnung des Spatprodukts

Die Berechnung des Spatprodukts ergibt sich dann wie folgt:

$D =  (3 \cdot (-1) \cdot 8) + (6 \cdot 7  \cdot 6) + ((-2) \cdot 5 \cdot (-3) ) - (6 \cdot (-1) \cdot (-2)) - ((-3) \cdot 7 \cdot 3) - (8 \cdot 5 \cdot 6) = 69$

also $V = 69$ Volumeneinheiten.