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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Lineare Abhängigkeit im R³

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Lineare Abhängigkeit im R³

Zwei Vektoren im R³

Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und  $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:

Methode

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$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} = \vec{0}$

mit

$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$

Nehmen beide $\lambda_i$ den Wert null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig. Demnach gilt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht beide $\lambda_i$ den Wert null annehmen dürfen.



Sinnvoll ist es, bei zwei Vektoren die folgende Defintion zu wählen (die Berechnung fällt weniger umfangreich aus): 

Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn einer der Vektoren sich als Linearkombination des anderen Vektors darstellen lässt:

Methode

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$\vec{a_1} = \lambda \vec{a_2}$

Ergibt sich für $\lambda$ ein Wert ungleich null, so sind die beiden Vektoren voneinander abhängig.

 

Es gilt also:

  • Zwei Vektoren im $\mathbb{R}^2$ sind genau dann linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander darstellen.
  • In der grafischen Darstellung gilt, dass zwei Vektoren im $\mathbb{R}^2$ genau dann linear abhängig sind, wenn diese parallel zueinander sind.

 

1. Anwendungsbeispiel

Dazu betrachten wir zwei Vektoren im $\mathbb{R}^3$.

Beispiel

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Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (2,1,0)$ und $\vec{b} = (3,2,4)$.

Sind die beiden Vektoren abhängig oder unabhängig voneinander?

Man kann hier auch ohne Berechnung erkennen, dass die beiden Vektoren linear unabhängig voneinander sind, da der Vektor $\vec{a}$ an der dritten Stelle eine Null enthält und der Vektor $\vec{b}$ an dieser Stelle keine Null aufweist. Wir wollen aber die Berechnung durchführen, um aufzuzeigen, wie die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit rechnerisch bestimmt wird.

Berechnung:

Die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind voneinander unabhängig, wenn sich der Vektor $\vec{a}$ als Linearkombination des Vektors $\vec{b}$ darstellen lässt:

$\vec{a} = \lambda \vec{b}$

$(2,1,0) = \lambda (3,2,4)$

Gleichungssystem aufstellen:

$2 = 3 \lambda$     $\Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$

$1 = 2 \lambda$     $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$

$0 = 4 \lambda$     $\Rightarrow \lambda = 0$

Da $\lambda$ nicht überall denselben Wert annimmt (wobei dieser ungleich null sein muss) sind die beiden Vektoren voneinander unabhängig. 

2. Anwendungsbeispiel

Beispiel

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Gegeben seien die Vektoren  $\vec{a} = (4,2,1)$ und $\vec{b} = (8,4,2)$.

Sind die beiden Vektoren abhängig oder unabhängig voneinander?

Hier können wir bereits erkennen, dass beide Vektoren linear abhängig voneinander sind, weil der $\vec{b}$ ein Vielfaches des Vektors $\vec{a}$ entspricht. Wir führen die Berechnung durch:

 

Berechnung:

Die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind voneinander unabhängig, wenn sich der Vektor $\vec{a}$ als Linearkombination des Vektors $\vec{b}$ darstellen lässt:

$\vec{a} = \lambda \vec{b}$

$(4,2,1) = \lambda (8,4,2)$


Gleichungssystem aufstellen:

$4 = 8 \lambda$     $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$

$2 = 4 \lambda$     $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$

$1 = 2 \lambda$     $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$

Da $\lambda$ überall den selben Wert ergibt und dieser ungleich null ist, sind die Vektoren voneinander abhängig. Wird der Vektor $\vec{b}$ mit $\lambda = \frac{1}{2}$ multipliziert, so ist das Ergebnis der Vektor $\vec{b}$.

Drei Vektoren im R³

Sind im $\mathbb{R}^3$ drei unabhängige Vektoren gegeben, so ist jeder weitere Vektor im $\mathbb{R}^3$ linear abhängig von diesen Vektoren. 

Hinweis

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In einem späteren Abschnitt wird die Basis von Vektoren behandelt. Im $\mathbb{R}^3$ bilden drei linear unabhängige Vektoren eine Basis.


Zunächst prüfen wir, ob drei Vektoren linear abhängig voneinander sind:

Drei Vektoren $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$ und $\vec{a_3}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:

Methode

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$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + \lambda_3 \vec{a_3} = \vec{0}$

mit

$\lambda_1, \lambda_2. \lambda_3 \in \mathbb{R}$

Nehmen alle $\lambda_i$ den Wert null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig. Demnach gilt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht alle $\lambda_i$ den Wert null annehmen dürfen.

 

Anwendungsbeispiel

Wir zeigen die lineare Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit dreier Vektoren an einem Beispiel.

Beispiel

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Gegeben seien die drei Vektoren im $\mathbb{R}^3$ zu: $\vec{a} = (1,2,3)$, $\vec{b} = (1,5,1)$ und $\vec{c} = (3,1,3)$.

Sind diese drei Vektoren linear abhängig oder unabhängig voneinander?

Lässt sich der Nullvektor als Linearkombination der drei Vektoren darstellen bzw. nehmen nicht alle $\lambda$ den Wert null an, so sind die drei Vektoren linear abhängig voneinander. 

Hinweis

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Wir werden bei der Berechnung der Unabhängigkeit der drei Vektoren im $\mathbb{R}^3$ sowohl den Gauß-Algorithmus anwenden als auch die Determinante der resultierenden $3 \times 3$-Matrix bestimmen. 

 

$\lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b} + \lambda_3 \vec{c} = \vec{0}$

Gauß-Algorithmus

Wir tragen alle drei Vektoren im $\mathbb{R}^3$ in eine Matrix ein. Die rechte Seite (Nullvektor) kann hierbei unberücksichtig bleiben, da es sich um einen Nullvektor handelt:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3  \\
2 & 5 & 1  \\
3 & 1 & 3 
\end{matrix}
$

Danach wenden wir den Gauß-Algorithmus an. Da keine Nullen in den Spalten gegeben sind, beginnen wir mit der 1. Spalte und versuchen möglichst viele Nullen in der Spalte zu erzeugen.

Berechnung der Null in der 2. Zeile (1. Spalte):

$\text{2. Zeile} - 2 \times \text{1. Zeile}$:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3  \\
0 & 3 & -5 \\
3 & 1 & 3
\end{matrix}
$


Berechnung der Null in der 3. Zeile (1. Spalte):

$\text{3. Zeile} - 3 \times \text{1. Zeile}$:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3  \\
0 & 3 & -5 \\
0 & -2 & -6 
\end{matrix}
$

 
Berechnung der Null in der 3. Zeile (2. Spalte):

$3 \times \text{3. Zeile} + 2 \times \text{2. Zeile}$:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3  \\
0 & 3 & -5 \\
0 & 0 & -28 
\end{matrix}
$

Aus der 3. Zeile ergibt sich:

$-28 \lambda_3 = 0 \;\;\; \Rightarrow \;\; \lambda_3 = 0$


Aus der 2. Zeile ergibt sich:

$3 \lambda_2 + 5 \lambda_3 = 0 \;\;\;\; \vert \lambda_3 = 0$ einsetzen

$\lambda_2 = 0$

Aus der 1. Zeile ergibt sich:

$\lambda_1 + \lambda_2 + 3 \lambda_3 = 0 \;\;\;\; \vert \lambda_{2,3} = 0$ einsetzen

$\lambda_1 = 0$

Alle drei $\lambda_i$ nehmen den Wert null an. Damit sind die Vektoren voneinander unabhängig.

Determinante

Bei drei Vektoren im $\mathbb{R}^3$ kann auch die Determinante berechnet werden, da es sich um eine quadratische $3 \times 3$-Matrix handelt:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3  \\
2 & 5 & 1 \\
3 & 1 & 3
\end{matrix}
$

Methode

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Repetition der Regel von Sarrus: Es werden die ersten beiden Zeilen unter die Matrix geschrieben, dann addiert man das Produkt aus den Elementen auf der grünen Diagonalen und subtrahiert davon das Produkt aus den Elementen auf der blauen Diagonalen.

Regel von Sarrus
Regel von Sarrus


$ det(A) = a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{2,1}a_{3,2}a_{1,3} + a_{3,1}a_{1,2}a_{2,3} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{2,3}a_{3,2}a_{1,1} - a_{3,3}a_{1,2}a_{2,1}$

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3 \\
2 & 5 & 1 \\
3 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 3 \\
2 & 5 & 1
\end{matrix}
$

$ det(A) = 1 \cdot 5 \cdot 3 + 2 \cdot 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 \cdot 1 - 3 \cdot 5 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \cdot 3 = -28$

Da sich ein Wert ungleich null ergibt, sind die Vektoren voneinander unabhängig.

Vier und mehr Vektoren im R3

Haben wir im $\mathbb{R}^3$ drei unabhängige Vektoren gegeben, so ist jeder weitere Vektor $\in \mathbb{R}^3$ linear abhängig von diesen drei Vektoren.

Anwendungsbeispiel

Beispiel

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Gegeben seien die drei Vektoren des vorangegangenen Beispiels und zusätzlich ein beliebiger Vektor $\vec{v} = (4,0,6)$. Bitte zeige, dass dieser Vektor von den obigen drei Vektoren linear abhängig ist!

Der Vektor $\vec{v}$ ist von den obigen drei Vektoren linear abhängig, wenn er sich als Linearkombination dieser Vektoren darstellen lässt:

$\lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b} + \lambda_3 \vec{c} = \vec{v}$

Eintragen in eine erweiterte Matrix, wobei die rechte Seite hier berücksichtigt werden muss, da es sich hierbei nicht um den Nullvektor handelt:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3\\
2 & 5 & 1\\
3 & 1 & 3
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
4\\ 0\\ 6
\end{matrix}
\right.$

Zur Berechnung der Unbekannten wenden wir den Gauß-Algorithmus an:

Berechnung der Null in der 2. Zeile (1. Spalte):

$\text{2. Zeile} - 2 \times \text{1. Zeile}$:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3 \\
0 & 3 & -5 \\
3 & 1 & 3
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
4 \\ -8 \\ 6
\end{matrix}
\right.$


Berechnung der Null in der 3. Zeile (1. Spalte):

$\text{3. Zeile} - 3 \times \text{1. Zeile}$:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3 \\
0 & 3 & -5 \\
0 & -2 & -6
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
4 \\ -8 \\ -6
\end{matrix}
\right.$


Berechnung der Null in der 3. Zeile (2. Spalte):

$3 \times \text{3. Zeile} + 2 \times \text{2. Zeile}$:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3 \\
0 & 3 & -5 \\
0 & 0 & -28
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
4 \\ -8 \\ -34
\end{matrix}
\right.$


Aus der 3. Zeile ergibt sich:

$-28 \lambda_3 = -34$  $\Rightarrow \lambda_3 = \frac{17}{14}$

 
Aus der 2. Zeile ergibt sich:

$3\lambda_2 - 5 \lambda_3 = -8$   |Einsetzen von $\lambda_3 = \frac{17}{14}$

$3 \lambda_2 - 5 \cdot \frac{17}{14} = -8$

$\lambda_2 = -\frac{9}{14}$


Aus der 1. Zeile ergibt sich:

$\lambda_1 + \lambda_2 + 3 \lambda_3 = 4$  |Einsetzen von $\lambda_1$ und $\lambda_2$

$\lambda_1 - \frac{9}{14} + 3 \cdot \frac{17}{14} = 4$

$\lambda_1 = 1$


Mittels der resultierenden Skalare kann der Vektor $\vec{v}$ als Linearkombination der drei Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ dargestellt werden. Dieser ist demnach linear abhängig von den drei Vektoren. Jeder Vektor im $\mathbb{R}^3$ ist von diesen drei voneinander linear unabhängigen Vektoren abhängig, kann also als deren Linearkombination dargestellt werden.