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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Lineare Abhängigkeit im R³

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Lineare Abhängigkeit im R³

Zwei Vektoren im R³

Zwei Vektoren $\vec{a_1}, \vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:

Methode

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$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} = \vec{0}$

mit

$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$

Nehmen beide $\lambda_i$ den Wert Null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig. Demnach gilt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht beide $\lambda_i$ den Wert Null annehmen dürfen.



Sinnvoll ist es bei zwei Vektoren die folgende Defintion zu wählen (die Berechnung fällt geringer aus): 

Zwei Vektoren $\vec{a_1}, \vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn einer der Vektoren sich als Linearkombination des anderen Vektors darstellen lässt:

Methode

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$\vec{a_1} = \lambda \vec{a_2}$

Ergibt sich für $\lambda$ ein Wert ungleich Null, so sind die beiden Vektoren voneinander abhängig.

 

Es gilt also:

  • Zwei Vektoren im $\mathbb{R}^2$ sind genau dann linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander darstellen.

  • Grafisch gilt, dass zwei Vektoren im $\mathbb{R}^2$ genau dann linear abhängig sind, wenn diese parallel zueinander sind.

 



Dazu betrachten wir zwei Vektoren im $\mathbb{R}^3$:

Beispiel

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$\vec{a} = (2,1,0)$ und $\vec{b} = (3,2,4)$

Sind die beiden Vektoren abhängig oder unabhängig voneinander?

Man kann hier auch ohne Berechnung erkennen, dass die beiden Vektoren linear unabhängig voneinander sind, da der Vektor $\vec{a}$ an der dritten Stelle eine Null enthält und der Vektor $\vec{b}$ an dieser Stelle keine Null aufweist. Wir wollen aber die Berechnung durchführen, um aufzuzeigen, wie die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit rechnerisch bestimmt wird.

Berechnung:

Die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind voneinander unabhängig, wenn sich der Vektor $\vec{a}$ als Linearkombination des Vektors $\vec{b}$ darstellen lässt:

$\vec{a} = \lambda \vec{b}$

$(2,1,0) = \lambda (3,2,4)$

Gleichungssystem aufstellen:

$2 = 3 \lambda$     $\Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$

$1 = 2 \lambda$     $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$

$0 = 4 \lambda$     $\Rightarrow \lambda = 0$

Da $\lambda$ nicht überall denselben Wert annimmt (wobei dieser ungleich Null sein muss) sind die beiden Vektoren voneinander unabhängig. 

Beispiel

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$\vec{a} = (4,2,1)$ und $\vec{b} = (8,4,2)$

Sind die beiden Vektoren abhängig oder unabhängig voneinander?

Hier kann man bereits erkennen, dass beide Vektoren linear abhängig voneinander sind, weil der $\vec{b}$ ein Vielfaches des Vektors $\vec{a}$ entspricht. Wir führen die Berechnung durch:

 

Berechnung:

Die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind voneinander unabhängig, wenn sich der Vektor $\vec{a}$ als Linearkombination des Vektors $\vec{b}$ darstellen lässt:

$\vec{a} = \lambda \vec{b}$

$(4,2,1) = \lambda (8,4,2)$


Gleichungssystem aufstellen:

$4 = 8 \lambda$     $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$

$2 = 4 \lambda$     $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$

$1 = 2 \lambda$     $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$

Da $\lambda$ überall den selben Wert ergibt und dieser ungleich Null ist, sind die Vektoren voneinander abhängig. Wird der Vektor $\vec{b}$ mit $\lambda = \frac{1}{2}$ multipliziert, so ist das Ergebnis der Vektor $\vec{b}$.

Drei und mehr Vektoren im R³

Sind im $\mathbb{R}^3$ drei unabhängige Vektoren gegeben, so ist jeder weitere Vektor im $\mathbb{R}^3$ linear abhängig von diesen Vektoren. 

Hinweis

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Im späteren Abschnitt wird die Basis von Vektoren behandelt. Im $\mathbb{R}^3$ bilden drei linear unabhängige Vektoren eine Basis.


Zunächst prüfen wir, ob drei Vektoren linear abhängig voneinander sind:

Drei Vektoren $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:

Methode

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$\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + \lambda_3 \vec{a_3} = \vec{0}$

mit

$\lambda_1, \lambda_2. \lambda_3 \in \mathbb{R}$

Nehmen alle $\lambda_i$ den Wert Null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig. Demnach gilt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht alle $\lambda_i$ den Wert Null annehmen dürfen.

Wir zeigen die lineare Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit dreier Vektoren an einem Beispiel.

Beispiel

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Gegeben seien die drei Vektoren im $\mathbb{R}^3$ zu: $\vec{a} = (1,2,3)$, $\vec{b} = (1,5,1)$ und $\vec{c} = (3,1,3)$.

Sind diese drei Vektoren linear abhängig oder unabhängig voneinander?


Lässt sich der Nullvektor als Linearkombination der drei Vektoren darstellen und nehmen nicht alle $\lambda$ den Wert Null an, so sind die drei Vektoren linear abhängig voneinander. 

Hinweis

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Wir wenden bei drei Vektoren im $\mathbb{R}^3$ den Gauß-Algorithmus oder die Berechnung der Determinante einer $3 \times 3$-Matrix. 

$\lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b} + \lambda_3 \vec{c} = \vec{0}$

Gauß-Algorithmus

Wir tragen alle drei Vektoren im $\mathbb{R}^3$ in eine Matrix ein. Die rechte Seite (Nullvektor) kann hierbei unberücksichtig bleiben, weil es sich um einen Nullvektor handelt:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3  \\
2 & 5 & 1  \\
3 & 1 & 3 
\end{matrix}
$

Danach müssen wir den Gauß-Algorithmus anwenden. Da keine Nullen in den Spalten gegeben sind, beginnen wir mit der 1.Spalte und versuchen möglichst viele Nullen in der Spalte zu erzeugen.

Berechnung der Null in der 2.Zeile (1. Spalte):

2.Zeile - 2 * 1.Zeile:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3  \\
0 & 3 & -5 \\
3 & 1 & 3
\end{matrix}
$


Berechnung der Null in der 3.Zeile (1.Spalte):

3. Zeile - 3 * 1.Zeile:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3  \\
0 & 3 & -5 \\
0 & -2 & -6 
\end{matrix}
$

 

Berechnung der Null in der 3.Zeile (2.Spalte):

3* 3. Zeile + 2 * 2. Zeile:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3  \\
0 & 3 & -5 \\
0 & 0 & -28 
\end{matrix}
$

Aus der 3. Zeile ergibt sich:

$-28 \lambda_3 = 0$ $\Rightarrow \lambda_3 = 0$


Aus der 2. Zeile ergibt sich:

$3 \lambda_2 + 5 \lambda_3 = 0$  |$\lambda_3 = 0$ einsetzen

$\lambda_2 = 0$

Aus der 1. Zeile ergibt sich:

$\lambda_1 + \lambda_2 + 3 \lambda_3 = 0$  |$\lambda_{2,3} = 0$ einsetzen

$\lambda_1 = 0$

Alle drei $\lambda_i$ nehmen den Wert Null an, damit sind die Vektoren voneinander unabhängig.

Determinante

Bei drei Vektoren im $\mathbb{R}^3$ kann auch die Determinante berechnet werden, weil es sich um eine quadratische $3 \times 3$-Matrix handelt:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3  \\
2 & 5 & 1 \\
3 & 1 & 3
\end{matrix}
$

Regel von Sarrus: Es werden die ersten beiden Zeilen unter die Matrix geschrieben, dann addiert man das Produkt aus den Elementen auf der grünen Diagonalen und subtrahiert davon das Produkt aus den Elementen auf der blauen Diagonalen.

Regel von Sarrus
Regel von Sarrus

 

 

$ det(A) =  a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{2,1}a_{3,2}a_{1,3} + a_{3,1}a_{1,2}a_{2,3} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{2,3}a_{3,2}a_{1,1} - a_{3,3}a_{1,2}a_{2,1}$

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3 \\
2 & 5 & 1 \\
3 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 3 \\
2 & 5 & 1
\end{matrix}
$

$ det(A) = 1 \cdot 5 \cdot 3 + 2 \cdot 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 \cdot 1 - 3 \cdot 5 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \cdot 3 = -28$

Da sich ein Wert ungleich Null ergibt, sind die Vektoren voneinander unabhängig.

Weitere Vektoren sind linear abhängig

Haben wir im $\mathbb{R}^3$ drei unabhängige Vektoren gegeben, so ist jeder weitere Vektor $\in \mathbb{R}^3$ linear abhängig von diesen Vektoren.

Beispiel

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Gegeben seien die obigen Vektoren und zusätzlich ein beliebiger Vektor $\vec{v} = (4,0,6)$. Zeige das dieser Vektor von den obigen drei Vektoren linear abhängig ist!

Der Vektor $\vec{v}$ ist von den obigen drei Vektoren linear abhängig, wenn er sich als Linearkombination dieser Vektoren darstellen lässt:

$\lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b} + \lambda_3 \vec{c} = \vec{v}$

Eintragen in eine erweiterte Matrix, wobei die rechte Seite hier berücksichtigt werden muss, da es sich hierbei nicht um den Nullvektor handelt:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3\\
2 & 5 & 1\\
3 & 1 & 3
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
4\\ 0\\ 6
\end{matrix}
\right.$

Zur Berechnung der Unbekannten muss der Gauß-Algoithmus angewandt werden:

Bestimmen der Null in der 2.Zeile (1.Spalte):

2. Zeile - 2* 1.Zeile:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3 \\
0 & 3 & -5 \\
3 & 1 & 3
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
4 \\ -8 \\ 6
\end{matrix}
\right.$

Bestimmen der Null in der 3.Zeile (1.Spalte):

3. Zeile - 3* 1.Zeile:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3 \\
0 & 3 & -5 \\
0 & -2 & -6
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
4 \\ -8 \\ -6
\end{matrix}
\right.$


Bestimmen der Null in der 3.Zeile (2.Spalte):

3 * 3. Zeile + 2* 2.Zeile:

$
\begin{matrix}
1 & 1 & 3 \\
0 & 3 & -5 \\
0 & 0 & -28
\end{matrix}
\left|
\begin{matrix}
4 \\ -8 \\ -34
\end{matrix}
\right.$

 

Aus der 3. Zeile ergibt sich:

$-28 \lambda_3 = -34$  $\Rightarrow \lambda_3 = \frac{17}{14}$

 

Aus der 2. Zeile ergibt sich:

$3\lambda_2 - 5 \lambda_3 = -8$   |Einsetzen von $\lambda_3 = \frac{17}{14}$

$3 \lambda_2 - 5 \cdot \frac{17}{14} = -8$

$\lambda_2 = -\frac{9}{14}$

Aus der 1. Zeile ergibt sich:

$\lambda_1 + \lambda_2 + 3 \lambda_3 = 4$  |Einsetzen von $\lambda_1$ und $\lambda_2$

$\lambda_1 - \frac{9}{14} + 3 \cdot \frac{17}{14} = 4$

$\lambda_1 = 1$

Mittels der resultierenden Skalare kann der Vektor $\vec{v}$ als Linearkombination der drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ dargestellt werden. Dieser ist demnach linear abhängig von den drei Vektoren. Jeder Vektor im $\mathbb{R}^3$ ist von diesen drei voneinander linear unabhängigen Vektoren abhängig, kann also als Linearkombination dargestellt werden.