Linearkombination von Vektoren

Die Linearkombination von Vektoren bezeichnet die Summe von Vektoren, wobei jeder Vektor mit einer reellen Zahl multipliziert wird. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor.

Dabei sind $\vec{a_i}$ die Vektoren, $\lambda_i$ die reellen Zahlen und $\vec{v}$ der Ergebnisvektor.

Darstellung eines Vektors als Linearkombination 

Wir wollen zeigen, wie ein Vektor als Linearkombination von anderen Vektoren dargestellt werden kann. Hierzu betrachten wir ein Beispiel.

$(1,4,6) = 1 \cdot (1,0,0) + 4 \cdot (0,1,0) + 6 \cdot (0,0,1)$

Die Summe der drei Vektoren die mit den reellen Zahlen $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 4$ und $\lambda_3 = 6$ multipliziert wurden, ergeben genau den Vektor $(1,4,6)$. Der Vektor $(1,4,6)$ wurde also als Linearkombination dargestellt.

Das obige Beispiel ist sehr einfach, weil es sich hierbei um die Einheitsvektoren handelt. Wir wollen ein weiteres Beispiel betrachten:

Das folgende Gleichungssystem muss gelöst werden:

$(1,4,6) = \lambda_1 \cdot (1,2,1) + \lambda_2 \cdot (1, 1, 1) + \lambda_3 \cdot (2, 1, 1)$

Bei diesem Beispiel ist es nicht mehr so einfach, die reellen Zahlen $\lambda_i$ zu bestimmen. Wir müssen uns nun überlegen, welche Werte die $\lambda_i$ annehemen müssen, damit der Ergenisvektor resultiert.

Dazu stellen wir das folgende Gleichungssystem auf:

$1 = \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 2$  (x-Koordinaten)

$4 = \lambda_1 \cdot 2 + \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 1$ (y-Koordinaten)

$6 = \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 1$ (z-Koordinaten)

Alles auf eine Seite bringen:

(1) $\; \lambda_1  + \lambda_2  + 2 \lambda_3 - 1 = 0$

(2) $\; 2 \lambda_1  + \lambda_2 + \lambda_3 - 4 = 0$

(3) $\; \lambda_1 + \lambda_2  + \lambda_3 - 6 = 0$

Hierbei handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem. Wir können hier zur Bestimmung der Unbekannten die elementaren Umformungen vornehmen. Wir starten damit, die Gleichung (3) von der Gleichung (1) zu subtrahieren. So fallen $\lambda_1$ und $\lambda_2$ durch Kürzen heraus und $\lambda_3$ kann berechnet werden:

(1) - (3):

$\lambda_1 + \lambda_2 + 2 \lambda_3 - 1 - (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 - 6) = 0 \;\;\;$  |Klammer auflösen

$\lambda_1 + \lambda_2 + 2 \lambda_3 - 1 - \lambda_1 - \lambda_2 - \lambda_3 + 6 = 0\;\;\;$  |Zusammenfassen

$\lambda_3 + 5 = 0 \;\;\;$  |nach $\lambda_3$ auflösen

$\lambda_ 3 = -5$

Danach subtrahieren wir die Gleichung (1) von der Gleichung (2), um $\lambda_1$ zu erhalten:

(2) - (1):

$2 \lambda_1 + \lambda_2+ \lambda_3 - 4 - (\lambda_1 + \lambda_2 + 2 \lambda_3 - 1) = 0\;\;\;$  |Klammer auflösen

$2 \lambda_1 + \lambda_2+ \lambda_3 - 4 - \lambda_1 - \lambda_2 - 2 \lambda_3 + 1 = 0\;\;\;$  |Zusammenfassen

$\lambda_1 - \lambda_3 - 3 = 0$  |Einsetzen von $\lambda_3 = -5$

$\lambda_1 - (-5) - 3 = 0$

$\lambda_1 + 5 - 3 = 0$

$\lambda_1 = -2$

Die Unbekannte $\lambda_2$ kann jetzt einfach durch das Einsetzen von $\lambda_1$ und $\lambda_3$ in eine der obigen Gleichungen bestimmt werden:

(1): $\lambda_1 + \lambda_2 + 2 \lambda_3 - 1 = 0$

$-2 + \lambda_2 + 2 (-5) - 1 = 0 \;\;\;$  |nach $\lambda_2$ auflösen

$\lambda_2 = 13$

Alle Unbekannten sind bestimmt. Die Linearkombination sieht also wie folgt aus:

$(1,4,6) = (-2) \cdot (1,2,1) + 13 \cdot (1, 1, 1) + (-5) \cdot (2, 1, 1)$