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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Linearkombination von Vektoren

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Linearkombination von Vektoren

Die Linearkombination von Vektoren bezeichnet die Summe von Vektoren, wobei jeder Vektor mit einer reellen Zahl multipliziert wird. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor.

Methode

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$\vec{v} = \lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + ... + \lambda_n \vec{a_n}$

 

Dabei sind $\vec{a_i}$ die Vektoren, $\lambda_i$ die reellen Zahlen und $\vec{v}$ der Ergebnisvektor.

Merke

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Der Vektor $\vec{v}$ ist eine Linearkombination aus den obigen Vektoren $\vec{a_i}$.

Darstellung eines Vektors als Linearkombination 

Wir wollen zeigen, wie ein Vektor als Linearkombination von anderen Vektoren dargestellt werden kann. Hierzu betrachten wir ein Beispiel.

Beispiel

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Der Vektor $\vec{v} = (1,4,6)$ soll als Linearkombination der Vektoren $(1,0,0)$, $(0, 1, 0)$ und $(0, 0, 1)$ (Einheitsvektoren) dargestellt werden.

$(1,4,6) = 1 \cdot (1,0,0) + 4 \cdot (0,1,0) + 6 \cdot (0,0,1)$

Die Summe der drei Vektoren die mit den reellen Zahlen $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 4$ und $\lambda_3 = 6$ multipliziert wurden, ergeben genau den Vektor $(1,4,6)$. Der Vektor $(1,4,6)$ wurde also als Linearkombination dargestellt.

 

Das obige Beispiel ist sehr einfach, weil es sich hierbei um die Einheitsvektoren handelt. Wir wollen ein weiteres Beispiel betrachten:

Beispiel

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Der Vektor $\vec{v} = (1,4,6)$ soll als Linearkombination der Vektoren $(1,2,1)$, $(1, 1, 1)$ und $(2, 1, 1)$ (Einheitsvektoren) dargestellt werden.

Es muss das folgende Gleichungssystem gelöst werden:

$(1,4,6) = \lambda_1 \cdot (1,2,1) + \lambda_2 \cdot (1, 1, 1) + \lambda_3 \cdot (2, 1, 1)$

Bei diesem Beispiel ist es nicht mehr so einfach die reellen Zahlen $\lambda_i$ zu bestimmen. Wir müssen uns nun überlegen welche Werte $\lambda_i$ annehemen müssen, damit der Ergenisvektor resultiert.

Dazu stellen wir das folgende Gleichungssystem auf:

$1 = \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 2$  (x-Koordinaten)

$4 = \lambda_1 \cdot 2 + \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 1$ (y-Koordinaten)

$6 = \lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 1$ (z-Koordinaten)

 

Alles auf eine Seite bringen:

(1) $\lambda_1  + \lambda_2  + 2 \lambda_3 - 1 = 0$

(2) $2 \lambda_1  + \lambda_2 + \lambda_3 - 4 = 0$

(3) $\lambda_1 + \lambda_2  + \lambda_3 - 6 = 0$


Wir können die Unbekannten $\lambda_1$, $\lambda_2$ und $\lambda_3$ bestimmen, indem wir die Gleichung (3) von der Gleichung (1) subtrahieren. So fallen $\lambda_1$ und $\lambda_3$ raus (durch Kürzen) und $\lambda_2$ kann berechnet werden:

(1) - (3):

$\lambda_1 + \lambda_2 + 2 \lambda_3 - 1 - [\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 - 6]$  |Klammer auflösen

$\lambda_1 + \lambda_2 + 2 \lambda_3 - 1 - \lambda_1 - \lambda_2 - \lambda_3 + 6$   |Zusammenfassen

$\lambda_3 + 5 = 0$   |nach $\lambda_3$ auflösen

$\lambda_ 3 = -5$

Danach subtrahieren wir die Gleichung (1) von der Gleichung (2) um $\lambda_1$ zu erhalten:

(2) - (1):

$2 \lambda_1 + \lambda_2+ \lambda_3 - 4 - [\lambda_1 + \lambda_2 + 2 \lambda_3 - 1 ]$  |Klammer auflösen

$2 \lambda_1 + \lambda_2+ \lambda_3 - 4 - \lambda_1 - \lambda_2 - 2 \lambda_3 + 1 $   |Zusammenfassen

$\lambda_1 - \lambda_3 - 3 = 0$  |Einsetzen von $\lambda_3 = -5$

$\lambda_1 - (-5) - 3 = 0$

$\lambda_1 + 5 - 3 = 0$

$\lambda_1 = -2$

 

Die Ungekannte $\lambda_2$ kann jetzt einfach durch das Einsetzen von $\lambda_1$ und $\lambda_3$ in eine der obigen Gleichungen erfolgen:

(1) : $\lambda_1 + \lambda_2 + 2 \lambda_3 - 1 = 0$

$-2 + \lambda_2 + 2 (-5) - 1 = 0$   |nach $\lambda_2$ auflösen

$\lambda_2 = 13$

 

Es sind alle Unbekannten bestimmt. Die Linearkombination sieht also wie folgt aus:

$(1,4,6) = (-2) \cdot (1,2,1) + 13 \cdot (1, 1, 1) + (-5) \cdot (2, 1, 1)$

 

Expertentipp

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Bei der obigen Berechnung der Unbekannten kann die Berechnung (Subtraktion der Gleichungen) in beliebiger Reihenfolge vorgenommen werden. Sinnvoll ist dabei so vorzugehen, dass möglichst viele Unbekannte wegfallen. Die obigen Berechnungen können auch nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren durchgeführt werden.