Tangentenvektor im Raum

Zu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $  im Raum definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]:

$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t), \ \dot{z}(t))$

wobei der Punkt $\dot{}$ über dem Vektor für die 1. Ableitung nach $t$ steht. Es gilt:

$\dot{\vec{x}}(t) = \frac{d}{dt}x(t)$, 

$\dot{\vec{y}}(t) = \frac{d}{dt}y(t)$

$\dot{\vec{z}}(t) = \frac{d}{dt}z(t)$.

Das bedeutet also, dass man den Vektor $\vec{r}(t)$ differenziert, indem man die Komponenten $\vec{x}(t), \ \vec{y}(t)$ und $\vec{z}(t)$ ableitet und dann den Vektor $\vec{t}(t)$ erhält.

Interpretiert man den Parameter $t$ als Zeit, so stellt der Vektor $\vec{t}(t)$ die Geschwindigkeit dar mit welcher die Kurve $K$ durchlaufen wird. Ein und dieselbe Kurve kann unterschiedliche Parameterdarstellungen und unterschiedliche Zeitintervalle haben.

Diese zwei Parameterdarstellungen definieren ein und dieselbe Kurve. Allerdings wird die zweite Kurve doppelt so schnell durchlaufen wie die erste Kurve.

Die Ableitungen sind:

$\vec{t}_{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -2\sin (t) \\ 4 \cos (t) \\  1 \end{pmatrix} $

$\vec{t}_{\beta} (t) =  \begin{pmatrix} -4\sin 2(t) \\ 8 \cos 2(t) \\ 2  \end{pmatrix} \; \rightarrow \; \vec{t}_{\beta} (t) = 2 \cdot \vec{t}_{\alpha} (t)$

Tangenteneinheitsvektor

Der Tangenteneinheitsvektor weist die Länge $1$ auf. Um diesen zu ermitteln, muss man den Tangentenvektor durch seine Länge teilen.

$\vec{t}_e (t) = \frac{\vec{t} (t)}{|\vec{t} (t)|}$

Der Tangentenvektor ist:

$\vec{t}_{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -2\sin (t) \\ 2 \cos (t) \\  1 \end{pmatrix} $

Die Länge ist:

$L = |\vec{t}_{\alpha} (t)| = \sqrt{(-2\sin (t))^2 + (2 \cos (t))^2  +  1^2}$

$= \sqrt{4 \sin^2 (t) + 4 \cos^2 (t)) +  1^2}$

$= \sqrt{4 (\sin^2 (t) +  \cos^2 (t))  +  1^2} = \sqrt{4 + 1^2} = \sqrt{5}$

Tangenteneinheitsvektor:

$\vec{t}_e (t) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix} -2\sin (t) \\ 2 \cos (t) \\  1 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t) \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \cos (t) \\  \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$

Dieser Tangenteneinheitsvektor besitzt nun die Länge $1$:

$|\vec{t}_e (t)| = \sqrt{\frac{4}{5} \sin^2 (t) + \frac{4}{5} \cos^2 (t) +  \frac{1}{5}} = 1$

Bogenlänge als Parameter

In der obigen Berechnung des Einheitstangentenvektors hat die Ableitung einer Kurve in Parameterdarstellung $t$ nicht unbedingt dazu geführt, dass der entstehende Tangentenvektor die Länge $1$ besitzt. Man musste diesen zusätzlich durch seine Länge teilen.

Ist hingegen eine Kurve in Bogenlänge $s$ angegeben, dann führt die Ableitung in jedem Fall dazu, dass der entstehende Tangentenvektor die Länge $1$ aufweist:

$\vec{t} (s) = (\dot{x}(s), \ \dot{y}(s), \ \dot{z}(s))$

mit  $|\vec{t} (s)| = 1$.

(Wechsel von Parameterdarstellung zur Bogenlänge siehe Abschnitt "Bogenlänge im Raum".)