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Tangentenvektor im Raum

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Zu jeder Parameterdarstellung   $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $  im Raum definiert man den TangentenVektor [oder Tangentialvektor]:

$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t), \ \dot{z}(t))$

wobei der Punkt $\dot{}$ über dem Vektor für die 1. Ableitung nach $t$ steht. Es gilt:

$\dot{\vec{x}}(t) = \frac{d}{dt}x(t)$, 

$\dot{\vec{y}}(t) = \frac{d}{dt}y(t)$

$\dot{\vec{z}}(t) = \frac{d}{dt}z(t)$.

Das bedeutet also, dass man den Vektor $\vec{r}(t)$ differenziert, indem man die Komponenten $\vec{x}(t), \ \vec{y}(t)$ und $\vec{z}(t)$ ableitet und dann den Vektor $\vec{t}(t)$ erhält.

Interpretiert man den Parameter $t$ als Zeit, so stellt der Vektor $\vec{t}(t)$ die Geschwindigkeit dar, mit welcher die Kurve $K$ durchlaufen wird. Ein und dieselbe Kurve kann unterschiedliche Parameterdarstellungen haben und unterschiedliche Zeitintervalle.

Beispiel

Gegeben seien die Kurven:

$\alpha (t) = \begin{pmatrix} 2 \cos (t) \\ 4 \sin (t) \\  t \end{pmatrix} \; ; 0 \le t \le 3\pi$  und  

$\beta (t) = \begin{pmatrix} 2 \cos 2(t) \\ 4 \sin 2(t) \\ 2 t \end{pmatrix} \; ; 0 \le t \le \frac{3\pi}{2}$.

Diese zwei Parameterdarstellungen definieren ein und dieselbe Kurve. Allerdings wird die zweite Kurve doppelt so schnell durchlaufen wie die erste Kurve.

Die Ableitungen sind:

$\vec{t}_{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -2\sin (t) \\ 4 \cos (t) \\  1 \end{pmatrix} $

$\vec{t}_{\beta} (t) =  \begin{pmatrix} -4\sin 2(t) \\ 8 \cos 2(t) \\ 2  \end{pmatrix} \; \rightarrow \; \vec{t}_{\beta} (t) = 2 \cdot \vec{t}_{\alpha} (t)$

Tangenteneinheitsvektor

Der Tangenteneinheitsvektor weist die Länge $1$ auf. Um diesen zu ermitteln muss man den Tangentenvektor durch seine Länge teilen.

$\vec{t}_e (t) = \frac{\vec{t} (t)}{|\vec{t} (t)|}$

Beispiel

Gegeben sei die Kurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} 2 \cos (t) \\ 2 \sin (t) \\  t \end{pmatrix} \; ; 0 \le t \le 3\pi$ 

Der Tangenvektor ist:

$\vec{t}_{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -2\sin (t) \\ 2 \cos (t) \\  1 \end{pmatrix} $

Die Länge ist:

$L = |\vec{t}_{\alpha} (t)| = \sqrt{(-2\sin (t))^2 + (2 \cos (t))^2  +  1^2}$

$= \sqrt{4 \sin^2 (t) + 4 \cos^2 (t)) +  1^2}$

$= \sqrt{4 (\sin^2 (t) +  \cos^2 (t))  +  1^2} = \sqrt{4 + 1^2} = \sqrt{5}$

Merke

Trigonometrische Umformungen:

$cos^2 (t) + sin^2 (t) = 1$


Tangenteneinheitsvektor:

$\vec{t}_e (t) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix} -2\sin (t) \\ 2 \cos (t) \\  1 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t) \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \cos (t) \\  \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$

Dieser Tangenteneinheitsvektor besitzt nun die Länge $1$:

$|\vec{t}_e (t)| = \sqrt{\frac{4}{5} \sin^2 (t) + \frac{4}{5} \cos^2 (t) +  \frac{1}{5}} = 1$

Bogenlänge als Parameter

In der obigen Berechnung des Einheitstangentenvektors, war es so, dass die Ableitung einer Kurve die in Parameterdarstellung $t$ gegeben ist nicht unbedingt dazu führt, dass der entstehende Tangentenvektor die Länge $1$ besitzt. Man musste diesen dann noch durch seine Länge teilen.

Ist hingegen eine Kurve in Bogenlänge $s$ angegeben, dann  führt die Ableitung dazu, dass der entstehende Tangentenvektor in jedem Fall die Länge $1$ aufweist:

$\vec{t} (s) = (\dot{x}(s), \ \dot{y}(s), \ \dot{z}(s))$

mit  $|\vec{t} (s)| = 1$.

(Wechsel von Parameterdarstellung zur Bogenlänge siehe Abschnitt "Bogenlänge im Raum".)

Multiple-Choice
Gegeben sei die Raumkurve $r(t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Wie sieht der dazugehörige Tangenteneinheitsvektor aus?
0/0
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Jan Morthorst

Dieses Dokument Tangentenvektor im Raum ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Jan Morthorst verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche DifferentialgleichungenHöhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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