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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Tangentenvektor im Raum

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tangentenvektor im Raum

Zu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $  im Raum definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]:

$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t), \ \dot{z}(t))$

wobei der Punkt $\dot{}$ über dem Vektor für die 1. Ableitung nach $t$ steht. Es gilt:

$\dot{\vec{x}}(t) = \frac{d}{dt}x(t)$, 

$\dot{\vec{y}}(t) = \frac{d}{dt}y(t)$

$\dot{\vec{z}}(t) = \frac{d}{dt}z(t)$.

Das bedeutet also, dass man den Vektor $\vec{r}(t)$ differenziert, indem man die Komponenten $\vec{x}(t), \ \vec{y}(t)$ und $\vec{z}(t)$ ableitet und dann den Vektor $\vec{t}(t)$ erhält.

Interpretiert man den Parameter $t$ als Zeit, so stellt der Vektor $\vec{t}(t)$ die Geschwindigkeit dar mit welcher die Kurve $K$ durchlaufen wird. Ein und dieselbe Kurve kann unterschiedliche Parameterdarstellungen und unterschiedliche Zeitintervalle haben.

Beispiel

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Gegeben seien die Kurven:

$\alpha (t) = \begin{pmatrix} 2 \cos (t) \\ 4 \sin (t) \\  t \end{pmatrix} \; ; 0 \le t \le 3\pi$  und  

$\beta (t) = \begin{pmatrix} 2 \cos 2(t) \\ 4 \sin 2(t) \\ 2 t \end{pmatrix} \; ; 0 \le t \le \frac{3\pi}{2}$.

Diese zwei Parameterdarstellungen definieren ein und dieselbe Kurve. Allerdings wird die zweite Kurve doppelt so schnell durchlaufen wie die erste Kurve.

Die Ableitungen sind:

$\vec{t}_{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -2\sin (t) \\ 4 \cos (t) \\  1 \end{pmatrix} $

$\vec{t}_{\beta} (t) =  \begin{pmatrix} -4\sin 2(t) \\ 8 \cos 2(t) \\ 2  \end{pmatrix} \; \rightarrow \; \vec{t}_{\beta} (t) = 2 \cdot \vec{t}_{\alpha} (t)$

Tangenteneinheitsvektor

Der Tangenteneinheitsvektor weist die Länge $1$ auf. Um diesen zu ermitteln, muss man den Tangentenvektor durch seine Länge teilen.

$\vec{t}_e (t) = \frac{\vec{t} (t)}{|\vec{t} (t)|}$

Beispiel

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Gegeben sei die Kurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} 2 \cos (t) \\ 2 \sin (t) \\  t \end{pmatrix} \; ; 0 \le t \le 3\pi$ 

Der Tangentenvektor ist:

$\vec{t}_{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -2\sin (t) \\ 2 \cos (t) \\  1 \end{pmatrix} $

Die Länge ist:

$L = |\vec{t}_{\alpha} (t)| = \sqrt{(-2\sin (t))^2 + (2 \cos (t))^2  +  1^2}$

$= \sqrt{4 \sin^2 (t) + 4 \cos^2 (t)) +  1^2}$

$= \sqrt{4 (\sin^2 (t) +  \cos^2 (t))  +  1^2} = \sqrt{4 + 1^2} = \sqrt{5}$

Merke

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Trigonometrische Umformungen:

$cos^2 (t) + sin^2 (t) = 1$


Tangenteneinheitsvektor:

$\vec{t}_e (t) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix} -2\sin (t) \\ 2 \cos (t) \\  1 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t) \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \cos (t) \\  \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$

Dieser Tangenteneinheitsvektor besitzt nun die Länge $1$:

$|\vec{t}_e (t)| = \sqrt{\frac{4}{5} \sin^2 (t) + \frac{4}{5} \cos^2 (t) +  \frac{1}{5}} = 1$

Bogenlänge als Parameter

In der obigen Berechnung des Einheitstangentenvektors hat die Ableitung einer Kurve in Parameterdarstellung $t$ nicht unbedingt dazu geführt, dass der entstehende Tangentenvektor die Länge $1$ besitzt. Man musste diesen zusätzlich durch seine Länge teilen.

Ist hingegen eine Kurve in Bogenlänge $s$ angegeben, dann führt die Ableitung in jedem Fall dazu, dass der entstehende Tangentenvektor die Länge $1$ aufweist:

$\vec{t} (s) = (\dot{x}(s), \ \dot{y}(s), \ \dot{z}(s))$

mit  $|\vec{t} (s)| = 1$.

(Wechsel von Parameterdarstellung zur Bogenlänge siehe Abschnitt "Bogenlänge im Raum".)