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Physik - Spatprodukt

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Physik

Spatprodukt

Inhaltsverzeichnis

In diesem Abschnitt wollen wir uns nun dem Spatprodukt widmen. Das Spatprodukt ist eine Kombination aus dem Vektorprodukt und dem Skalarprodukt und wird aus drei Vektoren gebildet:

Methode

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[$\vec{a},\vec{b},\vec{c}] :=\vec{a} \cdot (\vec{b}$ x $\vec{c}):=\vec{b} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{c}):=\vec{c} \cdot (\vec{a}$ x $\vec{b})$.

Der von den Vektoren aufgespannte Spat hat das Volumen $V = |[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]|$.

Im Umkehrschluss bedeutet dies:

  1. Liegen alle 3 Vektoren in einer Ebene so verschwindet das Spatprodukt, also $[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = 0$.
  2. Ist einer der Vektoren ein Nullvektor, so verschwindet das Spatprodukt ebenfalls.

Die nachfolgende Grafik zeigt den Unterschied zwischen dem Vektorprodukt und dem Spatprodukt:

Spatprodukt Vektorprodukt
Spatprodukt vs. Vektorprodukt

Berechnung des Spatproduktes

Um zu zeigen wie das Spatprodukt berechnet werden kann, wollen wir im Folgenden drei Vektoren betrachten:

$\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right)$, $\vec{b}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right)$, $\vec{c} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ 6 \end{array}\right)$.

Als Nächstes werden die 3 Vektoren in eine Matrix übertragen und die ersten beiden Zeilen als letzte Zeilen angefügt:

Spatprodukt berechnen
Berechnung des Spatproduktes aus drei Vektoren

Als Nächstes werden nun die Werte auf der Diagonalen miteinander multipliziert und das Ergebnis mit dem Ergebnis der anderen Diagonalen addiert bzw. subtrahiert:

$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]  = 1 \cdot (-2) \cdot 6 + 4 \cdot 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 \cdot (-5) - 2 \cdot (-2) \cdot 5 - (-5) \cdot 4 \cdot 1 - 6 \cdot 3 \cdot 4 = -87$