Spatprodukt

In diesem Abschnitt wollen wir uns nun dem Spatprodukt widmen. Das Spatprodukt ist eine Kombination aus dem Vektorprodukt und dem Skalarprodukt und wird aus drei Vektoren gebildet:

Der von den Vektoren aufgespannte Spat hat das Volumen $V = |[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]|$.

Im Umkehrschluss bedeutet dies:

1. Liegen alle 3 Vektoren in einer Ebene so verschwindet das Spatprodukt, also $[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = 0$.
2. Ist einer der Vektoren ein Nullvektor, so verschwindet das Spatprodukt ebenfalls.

Die nachfolgende Grafik zeigt den Unterschied zwischen dem Vektorprodukt und dem Spatprodukt:

Spatprodukt vs. Vektorprodukt

Berechnung des Spatproduktes

Um zu zeigen wie das Spatprodukt berechnet werden kann, wollen wir im Folgenden drei Vektoren betrachten:

$\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right)$, $\vec{b}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right)$, $\vec{c} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ 6 \end{array}\right)$.

Als Nächstes werden die 3 Vektoren in eine Matrix übertragen und die ersten beiden Zeilen als letzte Zeilen angefügt:

Berechnung des Spatproduktes aus drei Vektoren

Als Nächstes werden nun die Werte auf der Diagonalen miteinander multipliziert und das Ergebnis mit dem Ergebnis der anderen Diagonalen addiert bzw. subtrahiert:

$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]  = 1 \cdot (-2) \cdot 6 + 4 \cdot 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 \cdot (-5) - 2 \cdot (-2) \cdot 5 - (-5) \cdot 4 \cdot 1 - 6 \cdot 3 \cdot 4 = -87$