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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Geraden im Raum

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Geraden im Raum

Geraden können mittels Parameterdarstellung durch Vektoren abgebildet werden. 

Gerade durch den Ursprung

Eine Gerade wird allgemein definiert als:

Methode

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$G : \vec{x} = t \cdot \vec{v}$ 

mit

$t \in \mathbb{R}$ Parameter

$\vec{v}$ Richtungsvektor


Die obige Gerade verläuft dabei durch den Nullpunkt. Der Richtungsvektor $\vec{v}$ zeigt dabei die Richtung der Geraden an, der Parameter $t$ die Länge der Geraden. In der folgenden Grafik ist der Richtungsvektor $\vec{v} = \{1,2,0\}$ zu sehen. Hier wurde $x_3 = 0$ gesetzt, damit das Ganze zweidimensional veranschaulicht werden kann:

Geraden im Raum

Die Richtung der Geraden ist also schon mal bestimmt. Diese verläuft in Richtung des Richtungsvektors $\vec{v}$. Da der Parameter $t \in \mathbb{R}$ ist, verläuft die Gerade sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt, je nachdem welche Werte $t$ annimmt. Häufig wird ein Intervall für $t$ angegeben. Als Beispiel sei $t \in [0,2]$. 

$\vec{v} = 0 \cdot (1,3,0) = (0,0,0)$. 

$\vec{v} = 2 \cdot (1,3,0) = (2,6,0)$.

Geradengleichung

Es wurden hier die beiden äußeren Intervallpunkte gewählt und miteinander verbunden. $t$ kann aber alle Werte von 0 bis 2 annehmen. Für die Bestimmung der Geraden reicht es aber aus, die Endpunkte miteinander zu verbinden.

Die Gerade verläuft also vom Ursprung in Richtung des Richtungsvektors bis zum Punkt (1,3,0).

Gerade durch einen Vektor

Häufig sind Geraden gegeben, welche nicht durch den Ursprung verlaufen, sondern durch den Endpunkt eines Vektors. Dies ist der Fall bei der folgenden Geradengleichung:

Methode

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$G : \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$

mit

$\vec{a}$ Ortsvektor

$t \in \mathbb{R}$ Parameter

$\vec{v}$ Richtungsvektor

Damit die obige Gerade nicht durch den Ursprung verläuft müssen die folgenden Bedingungen erfüllt sein:

  • $\vec{a}$ muss ungleich Null sein,
  • $\vec{a}$ und $\vec{v}$ dürfen nicht in die gleiche Richtung weisen.

Sind diese Bedingungen erfüllt, so verläuft die obige Gerade nicht durch den Ursprung, sondern durch den Endpunkt des Ortsvektors $\vec{a}$. Wie genau diese Gerade eingezeichnet wird, visualisiert die nachfolgende Grafik:

Geraden im Raum

Der Vektor $\vec{a}$ ist ein Ortsvektor, geht also durch den Ursprung und zeigt auf den Punkt (2,1,0). Der Richtungsvektor $\vec{v}$ wird zunächst ebenfalls vom Ursprung auf den Punkt (1,3,0) eingezeichnet und dann (ohne die Richtung zu verändern) mit dem Fuß an die Spitze des Ortsvektors $\vec{a}$ verschoben (grafische Vektoraddition). Die Gerade verläuft wieder durch den Richtungsvektor $\vec{v}$ und durch die Spitze des Ortsvektors $\vec{a}$. Es ist deutlich zu erkennen, dass hier die Gerade nicht durch den Ursprung verläuft.


In den folgenden Abschnitten werden zwei Geraden betrachtet und die Lagemöglichkeiten dieser aufgezeigt. In einem dreidimensionalen Raum existieren für zwei Geraden vier Lagemöglichkeiten:

  • Die Geraden sind identisch. 
  • Die Geraden sind echt parallel.
  • Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
  • Die Geraden sind windschief zueinander.

Außerdem wird der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden sowie der Abstand zwischen zwei Geraden betrachtet!