Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Abstände von Geraden/Punkten

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Abstände von Geraden/Punkten

Wie wir in den vorherigen Abschnitten gesehen haben, können zwei Geraden entweder

  • identisch sein
  • echt parallel sein
  • oder windschief sein.

Identische Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte und weisen keinen Abstand zueinander auf. Der Abstand bei identischen Geraden ist also gleich Null.

Ein Punkt und eine Gerade

Gegeben sei ein Punkt $P(x_1, x_2, x_3)$ und eine Gerade $g: \vec{x} = \vec{a} + t_1 \vec{v}$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ und dem Richtungsvektor $\vec{b}$. Dann berechnet sich der Abstand wie folgt:

Methode

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$d(P,g) = \frac{|(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

Zwei parallele Geraden

Da der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden immer gleich groß ist, wählt man auf einer der beiden Geraden einen Punkt aus und berechnet den Abstand zwischen der anderen Gerade und diesem Punkt. Am sinnvollsten ist es den Aufpunkt einer Geraden zu wählen, d.h. den Punkt auf welchen der Ortsvektor zeigt, und den Abstand von diesem Aufpunkt zur anderen Geraden zu berechnen.

Gegeben seien die parallelen Geraden $g$ und $h$ mit den Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und den Richtungsvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$:

$g: \vec{x} = \vec{a} + t_1 \vec{v}$

$h: \vec{x} = \vec{b} + t_2 \vec{w}$

Die Berechnung des Abstandes ist dann wie folgt:

Methode

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$d(g,h) = \frac{|(\vec{a} - \vec{b}) \times \vec{w}|}{|\vec{w}|}$

bzw.

$d(g,h) = \frac{|(\vec{b} - \vec{a}) \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

Zwei windschiefe Geraden

Die kleinste Strecke, die zwei Geraden $g$ und $h$ miteinander verbindet bezeichnet man als Gemeinlot der beiden Geraden. Die Gerade, auf der das Gemeinlot liegt, wird als Minimaltransversale der beiden Geraden bezeichnet. Die Minimaltransversale ist diejenige Gerade, die im rechten Winkel zu den beiden Geraden steht. Die Länge des Gemeinlots von $g$ und $h$ ist der Abstand $d = d ( g , h )$ der beiden Geraden.

Gegeben seien die windschiefen Geraden $g$ und $h$ mit den Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und den Richtungsvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$:

$g: \vec{x} = \vec{a} + t_1 \vec{v}$

$h: \vec{x} = \vec{b} + t_2 \vec{w}$
 

Der Normalenvektor $\vec{n}$, welcher senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ steht, kann über das Kreuzprodukt berechnet werden:

Methode

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$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{w}$

Danach wird der Normalenvektor auf die Länge 1 gebracht:

Methode

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$\vec{n_0} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$

Der Abstand der beiden windschiefen Geraden kann dann berechnet werden zu:

Methode

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$d (g,h) = |(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{n}_0|$

Merke

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Wichtig: Windschiefe Geraden treten nur im dreidimensionalen Raum auf!

Beispiel 1: Abstand zwischen Punkt und Geraden

Wir beginnen mit einem Einführungsbeispiel, in welchem wir zeigen wollen, wie der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden berechnet wird:

Beispiel

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Gegeben sei der Punkt $P(3,2,1)$ und die Gerade $g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) $

Wir ziehen die obige Formel heran:

Methode

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$d(P,g) = \frac{|(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$


Zunächst berechnen wir $(\vec{p} - \vec{a})$:

$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right)  = \left(\begin{array}{c} 5 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) $

Danach berechnen wir:

$(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{v}$:

$\left(\begin{array}{c} 5 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)  = \left(\begin{array}{c} -2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-1) - 5 \cdot 1 \\ 5 \cdot 2 - (-2) \cdot (-1) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -6 \\ -7 \\ 8 \end{array}\right)$

Als nächstes berechnen wir die Länge des Vektors:

$|(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{v}| = \sqrt{(-6)^2 + (-7)^2 + 8^2} = 12,21$

 

Der Zähler ist bestimmt. Wir betrachten als nächstes den Nenner und berechnen die Länge des Richtungsvektors:

$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = 2,45$

 

Einsetzen in die Formel:

$d(P,g) = \frac{12,21}{2,45} = 4,98$

Der Abstand des Punktes $P$ zur Geraden $g$ beträgt 4,98.

Beispiel 2: Abstand zweier paralleler Geraden

Beispiel

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Gegeben seien die beiden parallelen Geraden

$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 8 \\ -4 \\ 2 \end{array}\right) $

$h : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right) + t_2 \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -0,5 \end{array}\right) $

Bestimme den Abstand der beiden parallelen Geraden!

Am sinnvollsten ist es den Aufpunkt der einen Geraden zu wählen (also den Ortsvektor) und den Abstand dieses Aufpunktes mit der anderen Geraden zu bestimmen.

Wir wählen den Aufpunkt der Geraden $g$ mit $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right)$. Wir berechnen den Abstand dieses Aufpunktes zur Geraden $h$ mit der Formel:

Methode

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$d(g,h) = \frac{|(\vec{a} - \vec{b}) \times \vec{w}|}{|\vec{w}|}$

Wir berechnen zunächst $(\vec{a} - \vec{b})$:

$\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right)  - \left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 7 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)$

Danach berechnen wir $(\vec{a} - \vec{b}) \times \vec{w}$:

$\left(\begin{array}{c} 7 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -0,5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \cdot (-0,5) - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot (-2) - 7 \cdot (-0,5) \\ 7 \cdot 1 - (-2) \cdot (-2) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1,5 \\ 3 \end{array}\right)$

Wir berechnen die Länge des Vektors:

$|(\vec{a} - \vec{b}) \times \vec{w}| = \sqrt{0^2 + 1,5^2 + 3^2} = 3,35$

 

Danach berechnen wir den Nenner, indem wir die Länge des Richtungsvektors der Geraden $h$ berechnen:

$|\vec{w}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-0,5)^2} = 2,29$

Einsetzen in die Formel:

$d(g,h) = \frac{3,35}{2,29} = 1,46$

 

Beispiel 3: Abstand zweier windschiefer Geraden

Beispiel

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Gegeben seien die beiden parallelen Geraden

$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ -1 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) $

$h : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) + t_2 \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -6 \\ -2 \end{array}\right) $

Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden!

Wir bestimmen zunächst den Normalenvektor $\vec{n}$, welcher senkrecht auf den beiden Geraden steht:

$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{w}$

Dabei ist $\vec{v}$ der Richtungsvektor der Geraden $g$ und $\vec{w}$ der Richtungsvektor der Geraden $h$ (siehe Kurstext):

$\vec{n} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} -4 \\ -6 \\ -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \cdot (-2) - 2 \cdot (-6) \\ 2 \cdot (-4) - 1 \cdot (-2) \\ 1 \cdot (-6) - 1 \cdot (-4) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 10 \\ -6 \\ -2 \end{array}\right)$

Danach wird der Normalenvektor auf die Länge 1 gebracht:

$\vec{n_0} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$

Der Zähler ist bereits berechnet. Für den Nenner müssen wir die Länge des Normalenvektors berechnen:

$|\vec{n}| = \sqrt{10^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{140} $

Einsetzen in die Formel:

$\vec{n_0} = \frac{1}{\sqrt{140}} \cdot \left(\begin{array}{c} 10 \\ -6 \\ -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0,845 \\ -0,507 \\ -0,169 \end{array}\right)$

Der normierte Normalenvektor weist die Länge 1 auf.

Vertiefung

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Normalenvektor mit Länge 1

$|\vec{n}_0| = \sqrt{0,845^2 + (-0,507)^2 + (-0,169)^2} \approx 1$

Im letzten Schritt kann der Abstand zwischen den beiden windschiefen Geraden bestimmt werden. Hiebei handelt es sich um den kleinste Abstand zwischen den beiden Geraden (Geimeinlot):

$d (g,h) = |(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{n}_0|$

Dabei ist $\vec{a}$ der Orstvektor der Geraden $g$ und $\vec{b}$ der Ortsvektor der Geraden $h$.

$ (\left(\begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ -1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) ) \cdot \left(\begin{array}{c} 0,845 \\ -0,507 \\ -0,169 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2,535 \\ 3,042 \\ 0,676 \end{array}\right)$

Wir haben zunächst den Vektor bestimmt. Die Betragsstriche geben an, dass wir hier die Länge dieses Vektors berechnen müssen:

$d (g,h) = \sqrt{2,535^2 + 3,042^2 + 0,676^2} = 4,017$

Die kleinste Strecke zwischen den beiden windschiefen Geraden beträgt 4,017.