Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Flächenträgheitsmomente für ein Dreieck bestimmt.

Anwendungsbeispiel: Dreieck

Gegeben sei das obige Dreieck mit den Seitenlängen $a$ und $b$. Die Achsen gehen nicht durch den Schwerpunkt, sondern fallen mit den Seiten des Dreiecks zusammen.

Es wird wieder ein infinitesimal kleiner Streifen der Breite $dz$ betrachtet, welcher den gleichen Abstand zur $y$-Achse besitzt. Die Länge ist nun aufgrund der abfallenden Steigung nicht mehr $b$. Es ist also abhängig davon, wo genau man sich auf der $z$-Achse befindet, da der Streifen immer kleiner wird und damit auch die Länge. Das bedeutet also es muss als erstes diese Gerade bestimmt werden.

Bestimmung der Geraden

Eine Gerade wird allgemein berechnet durch:

$y = mx + b$      $x$-$y$-Ebene

In diesem Beispiel:

$z = my + a$      $y$-$z$-Ebene

Es fehlt noch die Steigung $m$. Diese ist $b$ nach rechts und $a$ nach unten, daraus folgt $-\frac{a}{b}$. Da $b$ nach rechts entgegen der positiven Achse liegt, ist die Steigung negativ:

$z = -\frac{a}{b}y + a$  

Umstellen nach $y$:

$z - a = \frac{a}{b}y$   

$(z - a) \cdot (-\frac{b}{a}) = y  $    

$y = -z \frac{b}{a} + a \frac{b}{a}$

$y = -z \frac{b}{a} + b$      |b ausklammern

$y = b(1 - \frac{z}{a})$

Bestimmung der Flächenträgheitsmomente

Die Integration kann nun erfolgen:

$I_y = \int z^2 \; dA$    mit $dA = dz \cdot y$   mit $y = b(1 - \frac{z}{a})$

Die Integration erfolgt über die gesamte Länge $a$:

$I_y = \int_0^a (z^2 \; b(1 - \frac{z}{a}) \; dz)$

$I_y = \int_0^a (z^2 b - z^2 b \frac{z}{a} \; dz)$

$I_y = \int_0^a (z^2 b - z^3 b \frac{1}{a} \; dz)$

$I_y = [\frac{1}{3} z^3 b - \frac{1}{4} z^4 b \frac{1}{a}]_0^a $

$I_y = [\frac{1}{3} a^3 b - \frac{1}{4} a^4 b \frac{1}{a}]$

$I_y = \frac{a^3b}{12}$

Für die Bestimmung von $I_z$ wird ein infinitesimal kleiner Streifen mit der Länge $dy$ und der Breite $z$ gewählt:

Die Integration erfolgt mit:

$I_z = \int y^2 \; dA$  mit $dA = dy \cdot z$  mit $z = -\frac{a}{b}y + a$

$I_z = \int_0^b (y^2 \cdot (-\frac{a}{b}y + a) dz)$

$I_z = \int_0^b (y^3 \cdot -\frac{a}{b} + y^2 a) dz$

$I_z = [\frac{1}{4}y^4 \cdot -\frac{a}{b} + \frac{1}{3} y^3 a]_0^b$

$I_z = -\frac{1}{4} b^3 \cdot a + \frac{1}{3} b^3 \cdot a$

$I_z = \frac{b^3 a}{12}$

Bestimmung des Deviationsmoments

Da keine der beiden Achsen Symmetrieachsen darstellen, ist das Deviationsmoment ungleich Null.

$I_{yz} = -\int yz \; dA$   

Um dieses zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten.

1. Möglichkeit:

Es wird die Grafik zur Berechnung von $I_y$ verwendet. Bei einem Rechteck liegt der Schwerpunkt in der Mitte. Das bedeutet also bei $\frac{y}{2}$. Für dieses infinitesimale Rechteck gilt zudem $dA = y \; dz$ mit $y = b(1-\frac{z}{a})$  (siehe oben).

$I_{yz} = -\int \frac{y}{2} z \; dA$

Einsetzen von $dA = y dz$:

$I_{yz} =  -\int \frac{y}{2} \; z \cdot y \; dz$

$I_{yz} = -\int \frac{1}{2} y^2 \; z \; dz$

Einsetzen von $y = b(1-\frac{z}{a})$ :

$I_{yz} = - \int \frac{1}{2} (b \cdot (1 - \frac{z}{a}))^2 \cdot z \cdot dz$     |Klammer auflösen

$I_{yz} = - \int \frac{1}{2} (b - b \cdot \frac{z}{a})^2 \cdot z \cdot dz$       |Binomische Formel anwenden

$I_{yz} = -\int \frac{1}{2} (b^2 - 2 b^2 \frac{z}{a} + b^2 \frac{z^2}{a^2}) \cdot z \cdot dz$    |Klammer auflösen

$I_{yz} = -\int (\frac{1}{2} b^2 z - b^2 z^2 \frac{1}{a} + \frac{1}{2} b^2 z^3 \frac{1}{a^2}) dz$

Integriert wird wieder über die Höhe $a$:

$I_{yz} = -\int_0^a (\frac{1}{2} b^2 z - b^2 z^2 \frac{1}{a} + \frac{1}{2} b^2 z^3 \frac{1}{a^2}) dz$

$I_{yz} = - [ (\frac{1}{2} b^2 \frac{1}{2} z^2 - b^2 \frac{1}{3} z^3 \frac{1}{a} + \frac{1}{2} b^2 \frac{1}{4} z^4 \frac{1}{a^2}]_0^a$

$I_{yz} =  -[(\frac{1}{2} b^2 \frac{1}{2} a^2 - b^2 \frac{1}{3} a^3 \frac{1}{a} + \frac{1}{2} b^2 \frac{1}{4} a^4 \frac{1}{a^2}]$

$I_{yz} = -[\frac{1}{4} b^2 a^2 - \frac{1}{3} b^2 a^2 + \frac{1}{8} b^2 a^2] = -\frac{b^2 a^2}{24}$

2. Möglichkeit

Bei dieser zweiten Möglichkeit wird der infinitesimale Streifen betrachtet, welcher zur Berechnung von $I_z$ verwendet wurde. Hier gilt ebenfalls wieder, dass der Schwerpunkt eines Rechtecks in der Mitte liegt, also $\frac{z}{2}$.

$I_{zy} = -\int \frac{z}{2} y \; dA$   mit $dA = z \; dy$   mit $z = -\frac{a}{b}y + a$  

Einsetzen von $dA = z \; dy$:

$I_{zy} = -\int \frac{1}{2} z^2 \cdot y \; dy$    

Einsetzen von $z = -\frac{a}{b}y + a$ :

$I_{zy} = -\int \frac{1}{2} [-\frac{a}{b}y + a]^2 \cdot y \; dy$      |Binomische Formel

$I_{zy} = -\int \frac{1}{2} [\frac{a^2}{b^2}y^2 - 2 a^2 \frac{1}{b} y  + a^2] \cdot y \; dy$    |Klammer auflösen

$I_{zy} = -\int (\frac{1}{2} \frac{a^2}{b^2}y^3 - a^2 \frac{1}{b} y^2 + \frac{1}{2}a^2 y ) \; dy$ 

Integriert wird über die gesamte Höhe $b$:

$I_{zy} = -\int_0^b (\frac{1}{2} \frac{a^2}{b^2}y^3 - a^2 \frac{1}{b} y^2 + \frac{1}{2}a^2 y ) \; dy$ 

$I_{yz} = -[\frac{1}{2} \frac{a^2}{b^2} \frac{1}{4} y^4 - a^2 \frac{1}{b} \frac{1}{3} y^3 + \frac{1}{2}a^2 \frac{1}{2} y^2]_0^b$

$I_{yz} = -[\frac{1}{2} \frac{a^2}{b^2} \frac{1}{4} b^4 - a^2 \frac{1}{b} \frac{1}{3} b^3 + \frac{1}{2}a^2 \frac{1}{2} b^2]$

$I_{yz} = -[\frac{1}{8}a^2 b^2 -  \frac{1}{3} a^2 b^2 + \frac{1}{4}a^2 b^2]$

$I_{yz} = -\frac{a^2 b^2}{24}$