Beispiel: Flächenträgheitsmomente Dreieck

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Flächenträgheitsmomente für ein Dreieck bestimmt.

Beispiel: Dreieck

Gegeben sei das obige Dreieck mit den Seitenlängen $a$ und $b$. Die Achsen gehen nicht durch den Schwerpunkt, sondern fallen mit den Seiten des Dreiecks zusammen.

Es wird wieder ein infinitesimal kleiner Streifen der Breite $dz$ betrachtet, welcher überall den gleichen Abstand zur $y$-Achse besitzt. Die Länge des Steifens ist nun nicht mehr konstant $b$, sondern abhängig davon, wo genau man sich auf der $z$-Achse befindet. Wir bestimmen zunächst die unten rot gekennzeichnete Gerade: 

Bestimmung der Geraden

Eine Gerade wird allgemein berechnet durch:

In diesem Beispiel:

Es fehlt noch die Steigung $m$. Zur Berechnung der Steigung beginnt man auf der y-Achse, dort wo die rote Gerade beginnt. Von dort aus soll das andere Ende der Gerade auf der z-Achse erreicht werden. Dazu geht man $-b$-Schritte nach rechts in negative y-Richtung und $a$-Schritte nach unten in positive z-Richtung., daraus folgt $-\frac{a}{b}$. 

Umstellen nach $y$:

$z - a = \frac{a}{b}y$   

$(z - a) \cdot (-\frac{b}{a}) = y  $    

$y = -z \frac{b}{a} + a \frac{b}{a}$

$y = -z \frac{b}{a} + b$      |b ausklammern

Bestimmung der Flächenträgheitsmomente

Die Integration kann nun erfolgen:

Die Integration erfolgt über die gesamte Länge $a$:

$I_y = \int_0^a (z^2 \; b(1 - \frac{z}{a}) \; dz)$

$I_y = \int_0^a (z^2 b - z^2 b \frac{z}{a} \; dz)$

$I_y = \int_0^a (z^2 b - z^3 b \frac{1}{a} \; dz)$

$I_y = [\frac{1}{3} z^3 b - \frac{1}{4} z^4 b \frac{1}{a}]_0^a $

$I_y = [\frac{1}{3} a^3 b - \frac{1}{4} a^4 b \frac{1}{a}]$

$I_y = \frac{a^3b}{12}$

Für die Bestimmung von $I_z$ wird ein infinitesimal kleiner Streifen mit der Länge $dy$ und der Breite $z$ gewählt:

Die Integration erfolgt mit:

$I_z = \int y^2 \; dA$  mit $dA = dy \cdot z$  mit $z = -\frac{a}{b}y + a$

$I_z = \int_0^b (y^2 \cdot (-\frac{a}{b}y + a) dy)$

$I_z = \int_0^b (y^3 \cdot -\frac{a}{b} + y^2 a) dy$

$I_z = [\frac{1}{4}y^4 \cdot -\frac{a}{b} + \frac{1}{3} y^3 a]_0^b$

$I_z = -\frac{1}{4} b^3 \cdot a + \frac{1}{3} b^3 \cdot a$

$I_z = \frac{b^3 a}{12}$

Bestimmung des Deviationsmoments

Da keine der beiden Achsen Symmetrieachsen darstellen, ist das Deviationsmoment ungleich Null.

$I_{yz} = -\int yz \; dA$   

Um dieses zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten.

1. Möglichkeit:

Es wird die Grafik zur Berechnung von $I_y$ verwendet. Bei einem Rechteck liegt der Schwerpunkt in der Mitte. Das bedeutet also bei $\frac{y}{2}$. Für dieses infinitesimale Rechteck gilt zudem $dA = y \; dz$ mit $y = b(1-\frac{z}{a})$  (siehe oben).

$I_{yz} = -\int \frac{y}{2} z \; dA$

Einsetzen von $dA = y dz$:

$I_{yz} =  -\int \frac{y}{2} \; z \cdot y \; dz$

$I_{yz} = -\int \frac{1}{2} y^2 \; z \; dz$

Einsetzen von $y = b(1-\frac{z}{a})$ :

$I_{yz} = - \int \frac{1}{2} (b \cdot (1 - \frac{z}{a}))^2 \cdot z \cdot dz$     |Klammer auflösen

$I_{yz} = - \int \frac{1}{2} (b - b \cdot \frac{z}{a})^2 \cdot z \cdot dz$       |Binomische Formel anwenden

$I_{yz} = -\int \frac{1}{2} (b^2 - 2 b^2 \frac{z}{a} + b^2 \frac{z^2}{a^2}) \cdot z \cdot dz$    |Klammer auflösen

$I_{yz} = -\int (\frac{1}{2} b^2 z - b^2 z^2 \frac{1}{a} + \frac{1}{2} b^2 z^3 \frac{1}{a^2}) dz$

Integriert wird wieder über die Höhe $a$:

$I_{yz} = -\int_0^a (\frac{1}{2} b^2 z - b^2 z^2 \frac{1}{a} + \frac{1}{2} b^2 z^3 \frac{1}{a^2}) dz$

$I_{yz} = - [ (\frac{1}{2} b^2 \frac{1}{2} z^2 - b^2 \frac{1}{3} z^3 \frac{1}{a} + \frac{1}{2} b^2 \frac{1}{4} z^4 \frac{1}{a^2}]_0^a$

$I_{yz} =  -[(\frac{1}{2} b^2 \frac{1}{2} a^2 - b^2 \frac{1}{3} a^3 \frac{1}{a} + \frac{1}{2} b^2 \frac{1}{4} a^4 \frac{1}{a^2}]$

$I_{yz} = -[\frac{1}{4} b^2 a^2 - \frac{1}{3} b^2 a^2 + \frac{1}{8} b^2 a^2] = -\frac{b^2 a^2}{24}$

2. Möglichkeit

Bei dieser zweiten Möglichkeit wird der infinitesimale Streifen betrachtet, welcher zur Berechnung von $I_z$ verwendet wurde. Hier gilt ebenfalls wieder, dass der Schwerpunkt eines Rechtecks in der Mitte liegt, also $\frac{z}{2}$.

$I_{zy} = -\int \frac{z}{2} y \; dA$   mit $dA = z \; dy$   mit $z = -\frac{a}{b}y + a$  

Einsetzen von $dA = z \; dy$:

$I_{zy} = -\int \frac{1}{2} z^2 \cdot y \; dy$    

Einsetzen von $z = -\frac{a}{b}y + a$ :

$I_{zy} = -\int \frac{1}{2} [-\frac{a}{b}y + a]^2 \cdot y \; dy$      |Binomische Formel

$I_{zy} = -\int \frac{1}{2} [\frac{a^2}{b^2}y^2 - 2 a^2 \frac{1}{b} y  + a^2] \cdot y \; dy$    |Klammer auflösen

$I_{zy} = -\int (\frac{1}{2} \frac{a^2}{b^2}y^3 - a^2 \frac{1}{b} y^2 + \frac{1}{2}a^2 y ) \; dy$ 

Integriert wird über die gesamte Höhe $b$:

$I_{zy} = -\int_0^b (\frac{1}{2} \frac{a^2}{b^2}y^3 - a^2 \frac{1}{b} y^2 + \frac{1}{2}a^2 y ) \; dy$ 

$I_{yz} = -[\frac{1}{2} \frac{a^2}{b^2} \frac{1}{4} y^4 - a^2 \frac{1}{b} \frac{1}{3} y^3 + \frac{1}{2}a^2 \frac{1}{2} y^2]_0^b$

$I_{yz} = -[\frac{1}{2} \frac{a^2}{b^2} \frac{1}{4} b^4 - a^2 \frac{1}{b} \frac{1}{3} b^3 + \frac{1}{2}a^2 \frac{1}{2} b^2]$

$I_{yz} = -[\frac{1}{8}a^2 b^2 -  \frac{1}{3} a^2 b^2 + \frac{1}{4}a^2 b^2]$

$I_{yz} = -\frac{a^2 b^2}{24}$