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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Schnittpunkt zweier Geraden

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Schnittpunkt zweier Geraden

In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, wie man den Schnittpunkt zweier Geraden berechnet. Die allgemeine Vorgehensweise ist wie folgt:

  • Gleichsetzen der Geradengleichungen
  • Aufstellung und Lösung des linearen Gleichungssystems
  • Bestimmung des Schnittpunktes

Zum besseren Verständnis folgt ein Beispiel zur Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden.

Beispiel: Schnittpunkt zweier Geraden

Beispiel

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Gegeben seien die beiden Geraden:

$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right) $

$h : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right) + t_2 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) $

Bestimme den Schnittpunkt beider Geraden!

Zunächst setzen wir beiden Geradengleichungen gleich:

$\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right) + t_2 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) $

Danach stellen wir das lineare Gleichungssystem auf:

(1) $4 -3t_1 = 1 + t_2$

(2) $2 + 2t_1 = -2 + 2t_2$

Lösen des linearen Gleichungssystems indem (1) und (2) nach $t_1$ (oder $t_2$) aufgelöst und gleichgesetzt werden.

(1) $t_1 = -\frac{1 + t_2 - 4 }{3} = 1 - \frac{t_2}{3}$

(2) $t_1 = t_2 - 2$

Gleichsetzen:

$1 - \frac{t_2}{3} = t_2 - 2$


Nach $t_2$ auflösen:

$t_2 = \frac{9}{4}$

Und damit:

$t_1 = \frac{9}{4}- 2 = \frac{1}{4}$

Aus der Geraden $g$ kann der Punkt mit $t_1$ bestimmt werden:

$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}\right) +\frac{1}{4} \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right) =  \left(\begin{array}{c} 3,25 \\ 2,5 \end{array}\right)$

 

Aus der Geraden $h$ kann der Punkt mit $t_2$ bestimmt werden:

$h : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right) + \frac{9}{4} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)  = \left(\begin{array}{c} 3,25 \\ 2,5 \end{array}\right)$

 

Der Schnittpunkt liegt bei

$S = \left(\begin{array}{c} 3,25 \\ 2,5 \end{array}\right)$

Schnittpunkt, Geraden
Schnittpunkt zweier Geraden

 Beispiel 2 : Schnittpunkte zweier Geraden

Beispiel

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Gegeben seien die beiden Geraden:

$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right) $

$h : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t_2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right) $

Bestimme den Schnittpunkt beider Geraden!

Wir setzen die beiden Geradengleichungen gleich:

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t_2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right) $

Danach stellen wir das lineare Gleichungssystem auf:

(1) $1 + 2 t_1 = -1 + 2 t_2$

(2) $-2 +  t_1 = -2 + 2 t_2$

(3) $1 - 3 t_1 = 2 - 5 t_2$

Wir stellen die ersten beiden Gleichungen nach $t_2$ (alternativ nach $t_1$) um:

(1) $t_1 = t_2 - 1$

(2) $t_1 = 2 t_2$

Gleichsetzen:

$t_2 - 1 = 2 t_2$

Nach $t_2$ auflösen:

$t_2 = -1$

Einsetzen in (1) oder (2):

$t_1 = -2$

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, werden $t_1$ und $t_2$ in die Gleichung (3) eingesetzt:

(3) $1 - 3 \cdot (-2) = 2 - 5 \cdot (-1)$

$7 = 7$

Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.

Wir können den Schnittpunkt bestimmen, indem wir $t_1$ in die Geradengleichung $g$ oder $t_2$ in die Geradengleichung $h$ einsetzen:

$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) + (-2) \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right) =  \left(\begin{array}{c} -3 \\ -4 \\ 7 \end{array}\right) $

Der Schnittpunkt beider Geraden liegt bei $S = \left(\begin{array}{c} -3 \\ -4 \\ 7 \end{array}\right) $.

Hinweis

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Ist die Aussage der dritten Gleichung nicht wahr, so handelt es sich um windschiefe Geraden! Diese folgen im nächsten Abschnitt!