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Maschinenelemente 2

Visualisierung und Verspannungsschaubild im Montagezustand

Sind die Schrauben angezogen, so werden die zu verspannenden Teile von diesen zusammengepresst. Die dafür aufgebrachte Montagekraft $ F_M $ bewirkt, wie bereits erwähnt, eine Stauchung der zu verspannenden Teile und gleichzeitig eine Längung der Schrauben.

Da wir uns noch im Montagezustand befinden, treten keine Betriebskräfte auf und können zunächst unberücksichtigt bleiben.

Bei der Betrachtung des Montagezustandes ist es sinnvoll,

  • die zu verspannenden und gestauchten Bauteile (oft auch Platten genannt) und
  • die gedehnten Schrauben

zunächst getrennt voeneinander zu betrachten.

In den nächsten Abbildungen ist der Verschraubungszustand schematisch dargestellt. Es sollen dabei die folgenden Kennzeichnungen der auftretenden Kräfte genutzt werden:

  • $ F_{SM} $ ist die Montagekraft der Schraube und
  • $ f_{SM} $ ist die Längenänderung der Schraube,
  • $ F_{PM} $ ist Montagekraft der verspannten Teile und
  • $ f_{PM} $ die Stauchung der verspannten Teile.

Die Indizes bedeuten dabei im Einzelnen:

  • $ S: $   Schraube
  • $ P: $   Platte
  • $ M: $  Montage

Unbelastete und gelängte Schraube bzw. unbelastete und gestauchte Verspannteile

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 Aus der Abbildung ist zu entnehmen, dass sich bei Belastung

  • die Schrauben verlängern um den Wert $ f_{SM} $ und
  • die Verspannteile gestaucht werden um den Wert $ f_{PM} $.

 

Im Montagezustand herrscht dabei ein Kräftegleichgewicht

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Kraft-Verlängerungs-Diagramm

Um dir eine bessere Vorstellung zu vermitteln, zeichnen wir nun ein Kraft-Verlängerungs-Diagramm, welches auch als Verspannungsschaubild bezeichnet wird und eine Relation zwischen einer Kraft $ F $ und der daraus resultierenden Längenänderung $ f $ herstellt.

Wie bereits festgestellt sind die Längenänderungen der Schraube und der verspannten Bauteile unterschiedlich; die in Schraube und den verspannten Bauteilen wirkenden Kräfte sind jedoch gleich; diesen Zustand wollen wir in das Verspannungsbild entragen:

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Kurvenverlauf 

Die linke Gerade stellt das Kraft-Verlägerungs-Verhältnis (hier Stauchung) der verspannten Teile dar und die rechte Gerade visualisiert die Längung der Schraube durch Krafteinwirkung. Der Verlauf beider Geraden ist dabei linear-elastisch. 

In die Grafik sind die Verlängerung der belasteten Schraube und die Stauchung der verspannten Bauteile sowie auch die in der Schraubenverbindung herrschende Montagekraft eingezeichnet. Dabei entstehen auf Grund der linear-elastischen Betrachtung sowohl für die Stauchung als auch für die Verlängerung zwei Geraden, deren Steigung durch die beiden Winkel $ \alpha $ und $ \beta $ beschrieben werden kann.

Steigung der Geraden

Bei genauer Betrachtung des Verspannungsschaubildes kann man nun die Winkel mit der Montagekraft und den jeweiligen Verlängerungen bzw. Stauchungen über folgende Formeln bestimmen:

Methode

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Schraubengerade: $ tan \alpha = \frac{F_{PM}}{f_{PM}} $ und für die
Gerade der verspannten Teile: $ tan \beta= \frac{F_{SM}}{f_{SM}} $.

Wenn man nun die bereits bekannte Abhängigkeit der Nachgiebigkeit zu Kraft und Längenänderung berücksichtigt, kann man einen Bezug des Steigungswinkels mit der jeweiligen Nachgiebigkeit herleiten.

Methode

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Allgemeine Formel der Nachgiebigkeit:

$ \delta = \frac{f}{F} $

Methode

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Somit gilt für die Winkel $ \alpha $ und $ \beta $ in Abhängigkeit zur Nachgiebigkeit $ \delta $ :


Schraubengerade: $ tan \alpha = \frac{1}{\delta_S} $ und für die
Gerade der verspannten Teile: $ tan \beta= \frac{1}{\delta_P} $.

  • $ \delta_S $ = Nachgiebigkeit der Schraube
  • $ \delta_P $ = Nachgiebigkeit der verspannten Teile

Merke

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Es besteht also ein umgekehrtes Verhältnis zur Nachgiebigkeit $ \delta $ der beteiligten Teile.

Im nächsten Schritt suchen wir uns den Punkt auf der Kraftachse, der unserer Montagekraft entspricht und ziehen in beide Richtungen eine horizontale Linie bis sich diese jeweils mit den beiden Geraden schneidet. Anschließend ziehen wir von beiden Schnittpunkten aus eine vertikale Linie bis zum Schnitt mit der Längenänderungs-Achse und haben damit die genauen Werte für die Stauchung der verspannten Teile $ f_{PM} $ und der Längung der Schraube $ f_{SM} $ infolge der Montagekraft. 

 

Zusammenführen der Geraden

In der Fachliteratur werden nun die beiden Geraden für die Stauchung und die Verlängerung in direkten Kontakt miteinander gebracht.

Daher werden wir nun die Gerade der verspannten Teile horizontal verschieben bis ihr Schnittpunkt mit der horizontalen Linie dem Schnittpunkt zwischen der Geraden der gedehnten Schraube und der horizontalen Linie entspricht. Durch diesen Schritt ist das Verspannungsschaubild für den Montagezustand vollständig. Außerdem kann man mit diesem Verspannungsschaubild ausgezeichnet arbeiten und später bei zusätzlichen Kräften im Betriebszustand entsprechende Schlussfolgerungen ziehen.

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Merke

Hier klicken zum AusklappenDie Winkel der Geraden $ \alpha $ und $ \beta $ bleiben bei ein und derselben Schraubenverbindung immer gleich. Daher wird bei einer Variation der Montagekraft $ F_M $ die Gerade der verspannten Teile nur parallel verschoben, jedoch nicht gekippt. 
Dies ist im nachfolgenden Bild nachgezeichnet - rechts unten ist eine grafische Darstellung, wie die Verschiebung der Geraden nicht erfolgen darf.
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