Übungsaufgaben zu Geraden im Raum

Für die nachfolgenden Aufgaben soll die Lage der Geraden zueinander (parallel, identisch, windschief, sich schneidend) bestimmt und der Abstand zwischen den Geraden berechnet werden (bei parallelen und windschiefen Geraden).

Die Geraden werden in der folgenden Parameterdarstellung angegeben:

$g: \vec{x} = \vec{a} + t_1 \vec{v}$

$h: \vec{x} = \vec{b} + t_2 \vec{w}$

Aufgabe 1: Lagebeziehung von Geraden

Zunächst wollen wir die Lagebeziehung beider Geraden zueinander bestimmen. Wir prüfen als erstes, ob parallele oder sogar identische Geraden gegeben sind. Ist dies der Fall, so existieren für identische Geraden unendliche viele Schnittpunkte (Geraden liegen aufeinander). Bei parallelen Geraden existiert hingegen kein Schnittpunkt.

Um das herauszufinden, müssen wir prüfen, ob die beiden Geraden Vielfache voneinander sind. Dazu betrachten wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden und berechnen $\lambda$:

$\vec{v} = \lambda \; \vec{w}$             (alternativ: $\vec{w} = \lambda \vec{v}$).

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right)$

Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:

(1) $1 = 3\lambda $

(2) $2 = \lambda$

(3) $-2 = -3\lambda$

Jede Zeile nach $\lambda$ auflösen:

(1) $\lambda = \frac{1}{3}$

(2) $\lambda = 2$

(3) $\lambda = \frac{2}{3}$

Nur wenn $\lambda$ überall identisch ist, liegen parallele (und ggf. identische) Geraden vor. Da dies hier nicht der Fall ist, können die Geraden nur windschief sein oder sich schneiden.

Wir müssen als nächstes prüfen, ob die Geraden einen Schnittpunkt aufweisen oder keinen und damit windschief sind.

Zur Überprüfung müssen wir beiden Geraden gleichsetzen und das lineare Gleichungssystem lösen:

$\left(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ -7 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -9 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + t_2 \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right) $

Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:

(1) $0 + t_1 = -9 + 3 t_2$

(2) $8 + 2t_1 = 0 + t_2$

(3) $-7 + -2t_1 = 6 - 3 t_2$

Die erste Zeile (1) ist bereits nach $t_1$ aufgelöst:

(1) $t_1 = -9 + 3 t_2$

Wir können diese also in die zweite Zeile (2) einsetzen, um $t_2$ zu bestimmen:

(2) $8 + 2 \cdot (-9 + 3 t_2) = 0 + t_2$

$t_2 = 2$

Einsetzen in die erste Zeile (1) zur Berechnung von $t_1$:

$t_1 = -9 + 3 \cdot 2 = -3$.

Damit die Geraden einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben. Dazu setzen wir die Ergebnisse in die letzte Zeile (3) ein:

(3) $-7 + -2 \cdot (-3) = 6 - 3 \cdot 2$

$-1 = 0$

Diese Aussage ist falsch. Damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt. Die Geraden $g$ und $h$ sind windschief zueinander.

Als nächsten wollen wir den Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander bestimmen. Dazu benötigen wir die folgenden Formel:

$d (g,h) = |(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{n}_0|$

Hierbei ist $\vec{n}_0$ der Einheitsvektor, welcher wie folgt berechnet wird:

Der Normalenvektor $\vec{n}$, welcher senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ steht, kann über das Kreuzprodukt berechnet werden:

$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{w}$

$\vec{n} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - (-2) \cdot 1 \\ (-2) \cdot 3 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ -5 \end{array}\right)$

Danach normieren wir den Normalenvektor auf die Länge 1, indem wir diesen durch seine Länge teilen:

$\vec{n_0} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$

Dazu berechnen wir zunächst die Länge des Normalenvektors, durch die wir den Normalenvektor anschließend teilen:

$|\vec{n}| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{50}$

$\vec{n_0} = \frac{1}{\sqrt{50}} \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ -5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -0,566 \\ -0,424 \\ -0,707 \end{array}\right)$

Der Abstand der beiden windschiefen Geraden kann dann berechnet werden zu:

$d (g,h) = |(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{n}_0|$

$(\left(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ -7 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} -9 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) ) \cdot \left(\begin{array}{c} -0,566 \\ -0,424 \\ -0,707 \end{array}\right) =  9 \cdot -0,566 + 8 \cdot -0,424 + -13 \cdot -0,707 = 0,705$

Die kleinste Strecke zwischen den beiden windschiefen Geraden beträgt 0,705 Maßeinheiten.

Aufgabe 2: Lagebeziehung von Geraden

Zunächst wollen wir die Lagebeziehung beider Geraden zueinander bestimmen. Wir prüfen als erstes, ob parallele oder sogar identische Geraden gegeben sind. Ist dies der Fall, so existieren für identische Geraden unendliche viele Schnittpunkte (Geraden liegen aufeinander). Bei parallelen Geraden existiert hingegen kein Schnittpunkt.

Um das herauszufinden, müssen wir prüfen, ob die beiden Geraden Vielfache voneinander sind. Dazu betrachten wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden und berechnen $\lambda$:

$\vec{v} = \lambda \; \vec{w}$       (alternativ: $\vec{w} = \lambda \vec{v}$)

$\left(\begin{array}{c} 6 \\ 9 \\ -12 \end{array}\right)  = \lambda \left(\begin{array}{c} -8 \\ -12 \\ 16 \end{array}\right)$

Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:

(1) $6 = -8\lambda$

(2) $9 = -12 \lambda$

(3) $-12 = 16 \lambda$

Auflösen nach $\lambda$:

(1) $\lambda = -\frac{3}{4}$

(2) $\lambda = -\frac{3}{4}$

(3) $\lambda = -\frac{3}{4}$

Alle Werte für $\lambda$ sind identisch, d. h. die Geraden sind Vielfache voneinander. Damit liegen entweder parallele oder identische Gerade vor.

Um zu überprüfen, ob parallele oder identische Geraden vorliegen, wählen wir den Aufpunkt einer der Geraden und setzen diesen mit der Geradengleichung der anderen Geraden gleich.

Wir wählen hier den Aufpunkt der Geraden $g$ und setzen diesen mit der Geradengleichung $h$ gleich:

$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 9 \\ 14 \\ 4 \end{array}\right) + t_2 \cdot \left(\begin{array}{c} -8 \\ -12 \\ 16 \end{array}\right)$

Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:

(1) $3 = 9 -  8t_2$

(2) $7 = 14 - 12t_2$

(3) $3 = 4 + 16t_2$

Wir lösen nach $t_2$ auf:

(1) $t_2 = \frac{3}{4}$

(2) $t_2 = \frac{7}{12}$

(3) $t_2 = -\frac{1}{16}$

Da $t_2$ nicht überall gleich ist, liegt der Aufpunkt der Geraden $g$ nicht auf der Geraden $h$. Damit handelt es sich hierbei um parallele Geraden.

Als nächstes wollen wir den Abstand der beiden parallelen Geraden zueinander bestimmen. Der Abstand bei parallelen Gerade ist in jedem Punkt gleich. Wir können diesen berechnen zu:

 $d(g,h) = \frac{|(\vec{a} - \vec{b}) \times \vec{w}|}{|\vec{w}|}$

Wir berechnen zunächst die Länge des Richtungsvektors der Geraden $h$:

$|\vec{w}| = \sqrt{(-8)^2 + (-12)^2 + 16^2} = 21,541$

Danach berechnen wir den Zähler (zunächst ohne Länge):

$(\vec{a} - \vec{b}) \times \vec{w} = (\left(\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 9 \\ 14 \\ 4 \end{array}\right)) \times \left(\begin{array}{c} -8 \\ -12 \\ 16 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -124 \\ 104 \\ 16 \end{array}\right)$

Wir berechnen die Länge des resultierenden Vektors im Zähler:

$|(\vec{a} - \vec{b}) \times \vec{w}| = \sqrt{(-124)^2 + 104^2 + (16)^2} = 162,63$

Als nächstes können wir den Abstand berechnen:

$d(g,h) = \frac{162,63}{21,541} = 7,55$

Der Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden $g$ und $h$ beträgt 7,55.

Aufgabe 3: Lagebeziehungen zweier Geraden

Zu Beginn gilt es, die Lagebeziehungen der beiden Geraden zu ermitteln. Dabei wird geprüft, ob parallele oder gar identische Geraden gegeben sind. Sollte dies der Fall sein, liegen für identische Geraden unendlich viele Schnittpunkte vor. Sind Sie jedoch parallel, haben Sie keine Schnittpunkte.

Um das herauszufinden, müssen wir prüfen, ob die beiden Geraden Vielfache voneinander sind. Dazu betrachten wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden und berechnen $\lambda$:
 

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) = \lambda  \cdot  \left(\begin{array}{c} -3 \\ 9 \\ -6 \end{array}\right) $

$1 = -3  \lambda$     |$: -3$

$\lambda = -\frac{1}{-3} = -0,33$

$-3 = 9  \lambda$

$\lambda = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3} = -0,33$

$2 = -6  \lambda$

$\lambda = -\frac{1}{3} = -0,33$

Wir können erkennen, dass sämtliche $\lambda$ den gleichen Wert haben, somit sind die Vektoren linear abhängig.

$\Rightarrow$ Die Vektoren sind linear abhängig.

$\Rightarrow$ Die Geraden sind also parallel oder identisch.

 
Nun setzen wir einen Punkt der ersten Geraden mit der zweiten Geraden gleich. Üblicherweise wird als Punkt der Ortsvektor herangezogen. Wir wählen den Ortsvektor der Gerade $g$ und setzen diesen mit der Geraden $h$ gleich:

 
Ortsvektor von $g:   \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -3 \end{array}\right)$

$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ -7 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 9 \\ -6 \end{array}\right) $

$\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 4 \\ -7 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 9 \\ -6 \end{array}\right) $

Für jede Zeile ist nun das $t$ zu bestimmen:

$2 = 4  -  3  t    \rightarrow     t = 0,66$

$-1 = -7  +  9 t     \rightarrow     t = 0,66$

$-3 = 1  -  6 t     \rightarrow    t = 0,66$

Anhand der identischen Werte von $t$ wissen wir, dass der Ortsvektor von $g$ auf der Geraden von $h$ liegt. Beide Geraden sind daher identisch und es gilt:

$h = g$

Aufgabe 4: Lagebeziehungen zweier Geraden

Zu Beginn gilt es, die Lagebeziehungen der beiden Geraden zu ermitteln. Dabei wird geprüft, ob parallele oder gar identische Geraden gegeben sind. Sollte dies der Fall sein, liegen für identische Geraden unendlich viele Schnittpunkte vor. Liegen sie jedoch parallel zueinander, haben sie keine Schnittpunkte.

Um dies herauszufinden, stellen wir zunächst ein lineares Gleichungssystem auf und bestimmen für jede Zeile das $\lambda$:
 

$\left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right) = \lambda  \cdot  \left(\begin{array}{c} -4 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right)$

Für die $\lambda$ erhalten wir folgende Werte:

$-4 = -4  \lambda$     |$:  -4$

$\lambda = 1$

$-2 = -4  \lambda$     |$:  -4$

$\lambda = 0,5$

$6 = 10  \lambda$     |$:  10$

$\lambda = 0,6$

Wir sehen, dass die Werte für alle $\lambda$ unterschiedlich sind. Somit sind die Vektoren linear unabhängig.

$\Rightarrow$ linear unabhängig

$\Rightarrow$ Die Geraden haben einen Schnittpunkt oder liegen windschief zueinander.

Für weitere Aussagen sind die beiden Geradengleichungen gleich zu setzen, sodass sich ein lineares Gleichungssystem ergibt:

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)  +  s  \cdot  \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)  +  t  \cdot  \left(\begin{array}{c} -4 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right) $

(1) $1  -  4s = -1  -  4t$     ||$+  1$

(2) $-2  -  2s = -2  -  4t$     ||$+  2$

(3) $1  +  6s = 2  +  10t$    

 
Die beiden ersten Gleichungen können schnell nach $-4t$ umgeformt werden:

(1) $2  -  4s = -4t$

(2) $-2s = -4t$

(3) $1  +  6s = 2  +  10t$  

 
Durch Gleichsetzen der beiden ersten Gleichungen, erhalten wir den Wert $s$. Setzen wir diesen Wert in die letzte Gleichung ein, ergibt sich der Wert für $t$:

$2  -  4s = -2s$    ||$+  4s$   |$: 2$

$s = 1$

Einsetzen in die letzte Gleichung:

$1  +  6  \cdot  1 = 2  +  10t$     ||$- 2$

$5 = 10t$     ||$: 10$

$t = 0,5$

Dass die letzte Gleichung eine Lösung hat, ist Voraussetzung dafür, dass die Geraden einen Schnittpunkt besitzen. Dies können wir dadurch prüfen, indem wir die Ergebnisse für $s$ und $t$ in die letzte Gleichung einsetzen:

(3) $1  +  6s = 2  +  10t$

$1  +  6  \cdot  1 = 2  +  10  \cdot  0,5$

$1  +  6 = 2  +  5$

$7 = 7$

Das Ergebnis zeigt, dass die Aussage wahr ist. Die Geraden besitzen somit einen Schnittpunkt.

Zur Ermittlung des Schnittpunktes setzen wir eine Lösung in eine der Geradengleichungen ein:

$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right) $

Mit $s = 1$:

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)  +  1 \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right) $

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)  +  \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right) $

$\Rightarrow  S = \left(\begin{array}{c} -3 \\ -4 \\ 7 \end{array}\right)$

 
oder

$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right) $.

Mit $t = 0,5$:

$ \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + 0,5 \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right) $

$\Rightarrow S = \left(\begin{array}{c} -3 \\ -4 \\ 7 \end{array}\right)$

Aufgabe 5: Lagebeziehungen zweier Geraden

Zu Beginn gilt es, die Lagebeziehungen der beiden Geraden zu ermitteln. Dabei wird geprüft, ob parallele oder gar identische Geraden gegeben sind. Sollte dies der Fall sein, liegen für identische Geraden unendlich viele Schnittpunkte vor. Liegen sie jedoch parallel zueinander, besitzen sie keine Schnittpunkte.

Zur Prüfung, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind, stellen wir ein lineares Gleichungssystem auf:

$\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) = \lambda  \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$

$0 = -1\lambda$     |$: 1$

$\lambda = 0$

$-2 = \lambda$

$\lambda = -2$

$1 = 2  \lambda$     |$: 2$

$\lambda = 0,5$

Wir sehen, dass die Werte der $\lambda$ unterschiedlich sind. Daraus schließen wir, dass die Vektoren linear unabhängig sind.

$\Rightarrow$  linear unabhängig

$\Rightarrow$  Die Geraden sind daher entweder windschief zueinander oder haben einen Schnittpunkt.

Für weitere Aussagen setzen wir die Gleichungssysteme gleich und generieren ein lineares Gleichungssystem:

$\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)  +  s  \cdot  \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)  = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right)  +  t  \cdot  \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) $

 
$2 = 1  -  t$     ||$+  t, -  2$

$t = -1$     ||Wert für $t$ in die zweite Gleichung einsetzen. Dadurch ergibt sich der Wert für $s$:

 
$-1  -  2s = t$

$-1  -  2s = -1$     ||$+  1, :(-2)$

$s = 0$

 
$3 + s = -2 + 2t$ ||$- 3$

Ob die Geraden einen Schnittpunkt haben, finden wir dadurch heraus, dass die letzte Gleichung eine Lösung hat. Um dies zu überprüfen, setzen wir die Ergebnisse in die letzte (dritte) Gleichung ein:

$3  +  s = -2  +  2t$

$3  +  0 = -2  +  2  \cdot  (-1)$

$3 = -4$

 
Wir sehen, dass die Aussage falsch ist, woraus wir schließen können, dass beide Geraden keinen Schnittpunkt haben.

 
$\Rightarrow$  $g$ und $h$ liegen windschief zueinander.