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Maschinenelemente 2 - Nachgiebigkeitsberechnung

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Maschinenelemente 2

Nachgiebigkeitsberechnung

Bevor wir nun mit der Nachgiebigkeitsberechnung fortfahren, stellen wir noch ein paar Änderungen zu der Gleichung aus dem vorherigen Kurstext an. Dazu setzen wir die alternativen Gleichungen für das Hooksche Gesetz gleich und stellen nach f um.

Merke

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$ \sigma = E \cdot \frac{f}{F} $   und   $ \sigma = \frac{F}{A}     \rightarrow     E \cdot \frac{f}{F} = \frac {F}{A} $

$ \rightarrow   f = \frac{F \, \cdot \, l}{A \, \cdot \, E} $

mit
$ \sigma = $ mechanische Spannung
$ f = $ Längenänderung
$ E = $ Elastizitätsmodul
$ l = $ Ausgangslänge
$ A = $ Querschnittsfläche
$ F = $ wirkende Kraft

Diesen Term können wir in unsere Ausgangsgleichung $ \delta = \frac{f}{F} = f \cdot \frac {1}{F} $ einsetzen:

Merke

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$ \delta = f \cdot \frac {1}{F} = \frac{F \, \cdot \, l}{A \, \cdot \, E} \cdot \frac {1}{F} $

Wir kürzen F aus der Gleichung und erhalten für die Nachgiebigkeit:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Nachgiebigkeit (allgemein): $ \delta = \frac{l}{E \, \cdot \, A} $

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Mit dieser Gleichung haben wir die Abhängigkeit der Nachgiebigkeit von der Geometrie (l = Länge, A = Fläche) und dem Werkstoffkennwert (E = E-Modul) hergeleitet. 

Um nun die Nachgiebigkeitsberechnung einer Schraube zu vereinfachen, stellen wir uns vor, dass sich die Schraube aus verschiedenen elastischen Teilelementen zusammensetzt, die jeweils eine spezifische Nachgiebigkeit besitzen.

Dazu betrachten Sie die nächste Abbildung. 

Schraube mit unterschiedlichen Teilbereichen
Schraube mit unterschiedlichen Teilbereichen

Es handelt sich um eine Schraube mit unterschiedlichen Durchmessern $ d_i $ und Längen $ l_i $. Wir werden nun die unbekannten Größen in die Abbildung einzeichnen. 

Teilelemente einer Schraube
Teilelemente einer Schraube

Im nächsten Schritt stellen wir eine Gleichung auf, mit der sich Nachgiebigkeiten der jeweiligen Teilelemente berechnen lassen:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Nachgiebigkeit Teilelemente:  $ \delta_i = \frac{f_i}{F_i} = \frac{l_i}{E \, \cdot \, A_i} $

Zu den Teilelemente zählen die Nachgiebigkeiten der einzelnen Abschnitte $ \delta_i $, des Schraubenkopfs $ \delta_K $ und der Muttern/des eingespannten Gewindeteils $ \delta_{GM} $, also der eingeschraubte Gewindeteil. 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Wenn man davon ausgeht, dass die Schraube aus einem Werkstoff hergestellt wurde und dessen E-Modul bekannt ist, so müssen auschließlich die geometrischen Angaben bestimmt werden. 

Wurden alle Teilemente bestimmt, lässt sich auch die Gesamtnachgiebigkeit der Schraube $ \delta_S $ bestimmen, indem man die Nachgiebigkeiten der Teilelemente aufsummiert:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Gesamtnachgiebigkeit der Schraube: $ \delta_S = \sum_i \delta_i + \delta_K + \delta_{GM} $

Da sich die Nachgiebigkeit des Kopfes $ \delta_K $ und des eingeschraubten Gewindeteils $ \delta_{GM} $ anders errechnet als die anderen Teilelemente, werden wir die entsprechenden Gleichungen im kommenden Kurstext vorstellen.