Bevor wir nun mit der Nachgiebigkeitsberechnung fortfahren, stellen wir noch ein paar Änderungen zu der Gleichung aus dem vorherigen Kurstext an. Dazu setzen wir die alternativen Gleichungen für das Hooksche Gesetz gleich und stellen nach f um.
Methode
$ \sigma = E \cdot \frac{f}{F} $ und $ \sigma = \frac{F}{A} \rightarrow E \cdot \frac{f}{F} = \frac {F}{A} $
$ \rightarrow f = \frac{F \, \cdot \, l}{A \, \cdot \, E} $
mit
$ \sigma = $ mechanische Spannung
$ f = $ Längenänderung
$ E = $ Elastizitätsmodul
$ l = $ Ausgangslänge
$ A = $ Querschnittsfläche
$ F = $ wirkende Kraft
Diesen Term können wir in unsere Ausgangsgleichung $ \delta = \frac{f}{F} = f \cdot \frac {1}{F} $ einsetzen:
Methode
$ \delta = f \cdot \frac {1}{F} = \frac{F \, \cdot \, l}{A \, \cdot \, E} \cdot \frac {1}{F} $
Wir kürzen F aus der Gleichung und erhalten für die Nachgiebigkeit:
Methode
Merke
Um nun die Nachgiebigkeitsberechnung einer Schraube zu vereinfachen, stellen wir uns vor, dass sich die Schraube aus verschiedenen elastischen Teilelementen zusammensetzt, die jeweils eine spezifische Nachgiebigkeit besitzen.
Dazu betrachten Sie die nächste Abbildung.
Es handelt sich um eine Schraube mit unterschiedlichen Durchmessern $ d_i $ und Längen $ l_i $. Wir werden nun die unbekannten Größen in die Abbildung einzeichnen.
Im nächsten Schritt stellen wir eine Gleichung auf, mit der sich Nachgiebigkeiten der jeweiligen Teilelemente berechnen lassen:
Methode
Zu den Teilelemente zählen die Nachgiebigkeiten der einzelnen Abschnitte $ \delta_i $, des Schraubenkopfs $ \delta_K $ und der Muttern/des eingespannten Gewindeteils $ \delta_{GM} $, also der eingeschraubte Gewindeteil.
Merke
Wurden alle Teilemente bestimmt, lässt sich auch die Gesamtnachgiebigkeit der Schraube $ \delta_S $ bestimmen, indem man die Nachgiebigkeiten der Teilelemente aufsummiert:
Methode
Da sich die Nachgiebigkeit des Kopfes $ \delta_K $ und des eingeschraubten Gewindeteils $ \delta_{GM} $ anders errechnet als die anderen Teilelemente, werden wir die entsprechenden Gleichungen im kommenden Kurstext vorstellen.
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