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Maschinenelemente 2 - Nachgiebigkeitsberechnung

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Maschinenelemente 2

Nachgiebigkeitsberechnung

Bevor wir nun mit der Nachgiebigkeitsberechnung fortfahren, stellen wir noch ein paar Änderungen zu der Gleichung aus dem vorherigen Kurstext an. Dazu setzen wir die Gleichungen der Nachgiebigkeit und die Gleichungen für das Hooksche Gesetz gleich und stellen nach f, der Längenänderung, um.

Methode

$ \sigma = E \cdot \frac{f}{l} $   und   $ \sigma = \frac{F}{A} \rightarrow E \cdot \frac{f}{l} = \frac {F}{A} $

$ \rightarrow   f = \frac{F \, \cdot \, l}{A \, \cdot \, E} $

mit
$ \sigma = $ mechanische Spannung
$ f = $ Längenänderung
$ E = $ Elastizitätsmodul
$ l = $ Ausgangslänge
$ A = $ Querschnittsfläche
$ F = $ wirkende Kraft

Diesen Term können wir in unsere Ausgangsgleichung $ \delta = \frac{f}{F} = f \cdot \frac {1}{F} $ einsetzen:

Methode

$ \delta = f \cdot \frac {1}{F} = \frac{F \, \cdot \, l}{A \, \cdot \, E} \cdot \frac {1}{F} $

Wir kürzen F aus der Gleichung und erhalten für die Nachgiebigkeit eine allgemeingültige Formel:

Methode

Nachgiebigkeit (allgemein): $ \delta = \frac{l}{E \, \cdot \, A} $

Merke

Mit dieser Gleichung haben wir die Abhängigkeit der Nachgiebigkeit von der Geometrie (l = Länge, A = Fläche) und dem Werkstoffkennwert (E = E-Modul) hergeleitet.
Diese Formel wird in den nachfolgenden Berechnungen generell als Formel für die Nachgiebigkeit einer Schraube betrachtet.

Interessant beim Betrachten einer verspannten Schraube ist es, dass sich die Schraube aus unterschiedlichen Bereichen mit unterschiedlichen Nachgiebigkeiten zusammensetzt. So müssen bei der Betrachtung der Gesamtschraube folgende Teilbereiche betrachtet werden:

  • Kopf der Schraube
  • unterschiedliche Bereiche der Schraube ohne Gewinde
  • unterschiedliche Bereiche der Schraube mit Gewinde, aber ohne Kontakt mit einem Gegengewinde
    (werden in der Regel wie Bereiche ohne Gewinde betrachtet)
  • Bereiche einer Schraube, bei der das Gewinde in einem Gegengewinde steckt.
    (Dies kann ein Bauteil bei Nutzung einer Einziehschraubverbindung sein oder eine Mutter bei einer Verbindung mittels Durchsteckschraube.)

Um nun die Nachgiebigkeitsberechnung einer Schraube zu vereinfachen, stellen wir uns deshalb vor, dass sich die Schraube aus verschiedenen elastischen Teilelementen zusammensetzt, die jeweils eine spezifische Nachgiebigkeit besitzen.

Dazu betrachtet bitte die nächste Abbildung. Hier sind die wichtigsten Teilbereiche bildlich zusammengestellt worden.

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Im nächsten Schritt stellen wir eine allgemeingültige Gleichung auf, mit der sich die Nachgiebigkeiten der jeweiligen Teilelemente berechnen lassen. Mit i sollen dabei die unterschiedlichen Teilbereiche gekennzeichnet werden - also Kopf, einzelne Teilbereiche mit und ohne Gewinde etc.

Methode

Nachgiebigkeit Teilelemente:  $ \delta_i = \frac{f_i}{F_i} = \frac{l_i}{E \, \cdot \, A_i} $

Zu den Teilelementen zählen also die Nachgiebigkeiten der einzelnen Abschnitte $ \delta_i $, des Schraubenkopfs $ \delta_K $ und ebenfalls der Muttern bzw. des eingespannten Gewindeteils $ \delta_{GM} $, also der eingeschraubte Gewindeteil. 

Merke

Wenn man davon ausgeht, dass die Schraube aus einem Werkstoff hergestellt wurde und dessen E-Modul bekannt ist, so müssen auschließlich die geometrischen Angaben bestimmt werden. 

Wurden alle Teilemente bestimmt, lässt sich auch die Gesamtnachgiebigkeit der Schraube $ \delta_S $ ermitteln, indem man die Nachgiebigkeiten der Teilelemente aufsummiert:

Methode

Gesamtnachgiebigkeit der Schraube: $ \delta_S = \sum_i \delta_i + \delta_K + \delta_{GM} $

Dabei bedeuten die Indizes:

  • i  -  Teilbereiche i=1  ... i=x
  • K - Kopf (der Schraube)
  • G - Gewinde bzw. Gewinde der Mutter

Die Nachgiebigkeit des Schraubenkopfes sowie auch die Nachgiebigkeit des eingeschraubten Gewindes berechnet sich dabei etwas anders als die herkömmlichen Teilbereiche. Die entsprechenden Gleichungen werden im nachfolgenden Kurstext vorgestellt.