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Maschinenelemente 2 - Nachgiebigkeitsberechnung

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Maschinenelemente 2

Nachgiebigkeitsberechnung

Bevor wir nun mit der Nachgiebigkeitsberechnung fortfahren, stellen wir noch ein paar Änderungen zu der Gleichung aus dem vorherigen Kurstext an.

Merke

Ausgangsgleichung: $\delta = \frac{f}{F}$ oder $\delta = \frac{F \cdot l}{A\cdot E} \cdot \frac{1}{F} = \frac{l}{A \cdot E} $

Dabei stellt $\frac{F \cdot l}{A\cdot E} = f $ dar, wodurch sich die obige Gleichung ändert zu:

Merke

Nachgiebigkeit [allgemein]: $\delta = \frac{f}{F} = \frac{l}{E \cdot A} $

Methode

Mit dieser Gleichung haben wir die alleinige Abhängigkeit der Nachgiebigkeit von der Geometrie [ l = Länge, A = Fläche] und dem Werkstoffkennwert [E = E-Modul] hergeleitet. 

Um nun die Nachgiebigkeitsberechnung einer Schraube zu vereinfachen, stellen wir uns vor, dass sich die Schraube aus verschiedenen elastischen Teilelementen zusammensetzt, die jeweils eine spezifische Nachgiebigkeit besitzen.

Dazu betrachten Sie die nächste Abbildung. 

Schraube mit unterschiedlichen Teilbereichen
Schraube mit unterschiedlichen Teilbereichen

Es handelt sich um eine Schraube mit unterschiedlichen Durchmessern $ d_i $ und Längen $ l_i $. Wir werden nun die unbekannten Größen in die Abbildung einzeichnen. 

Teilelemente einer Schraube
Teilelemente einer Schraube

Im nächsten Schritt stellen wir eine Gleichung, mit der sich Nachgiebigkeiten der jeweiligen Teilelemente berechnen lassen:

Merke

Nachgiebigkeit Teilelemente:  $\delta = \frac{f_i}{F_i} \rightarrow = \frac{li}{E \cdot A_i} $

Zu den Teilelemente zählen die einzelnen Abschnitte $ \delta_i $, der Schraubenkopf $\delta_K $ und die Mutter/eingespannter Gewindeteil $\delta_{GM} $, also der eingeschraubte Gewindeteil. 

Methode

Wenn man davon ausgeht, dass die Schraube aus einem Werkstoff hergestellt wurde und dessen E-Modul bekannt ist, so müssen auschließlich die geometrischen Angaben bestimmt werden. 

Wurden alle Teilemente bestimmt, lässt sich auch die Gesamtnachgiebigkeit der Schraube $\delta_S $ bestimmen, indem man die Nachgiebigkeiten der Teilelemente aufsummiert.

Merke

Gesamtnachgiebigkeit der Schraube: $ \delta_S = \sum_i \delta_i + \delta_K + \delta_{GM} $

Da sich die Nachgiebigkeit des Kopfes $\delta_K $ und des eingeschraubten Gewindeteils $\delta_{GM} $ anders errechnet als die anderen Teilelemente, werden wir die entsprechenden Gleichungen im kommenden Kurstext vorstellen.