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Maschinenelemente 2 - Grundgleichungen

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Maschinenelemente 2

Grundgleichungen

In diesem und den kommenden Kurstexten werden wir Stück für Stück die Grundlagen zur Berechnung einer Schraubenverbindung vorstellen. Stellvertretend für alle Schraubenarten werden wir die Berechnungen mit den Befestigungsschrauben durchführen. 

Befestigungsschrauben

Soll eine vorgespannte Verbindung hergestellt werden, die Betriebskräfte aufnehmen kann, so verwendet man Befestigungsschrauben. Dabei wirken die Betriebskräfte in Richtung der Schraubenachse. Wie stark dabei die Schraubenverbindung beansprucht wird, richtet sich nach den eingesetzten Komponenten und deren Nachgiebigkeit

Merke

Die Voraussetzung für die Berechnung der notwendigen Schraubenabmessungen ist eine genaue Erfassung der durch Kraft und Verformung induzierten Zustände. 

Grundgleichungen

Wir werden uns für die kommenden Berechnungen folgende Grundgleichungen zu Nutzen machen. 

Elastische Nachgiebigkeit

Die elastische Nachgiebigkeit $\delta $ beschreibt das Verformungsvermögen eines Bauteils. Es handelt sich um den Kehrwert der Federsteifigkeit. 

Die wirkende Kraft $ F $ wird formal beschrieben durch das Produkt aus Weg $\ x $ bzw. Längenänderung $ f $  und Federsteifigkeit $ c $. 

Merke

Wirkende Kraft: $ F = x \cdot c $ wobei  $ x = f $ und $ c = \frac{1}{\delta} $.

Merke

Nachgiebigkeit: $ \delta = \frac{f}{F} \rightarrow \frac{\text{Längenänderung}}{\text{wirkende Kraft}} $
Hookesches Gesetz

Für unser weiteres Vorgehen benötigen wir zudem das Hookesche Gesetz

Merke

Hookesches Gesetz: $\sigma = E \cdot \epsilon \rightarrow = \text{Elastizitätsmodul} \cdot \text{relative Längenänderung} $ 

alternativ

Merke

Hookesches Gesetz: $\sigma = \frac{F}{A} \rightarrow = E \cdot \frac{f}{l} $  [l = Ausgangslänge]

Mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes lässt sich die elastische Nachgiebigkeit in alleiniger Abhängigkeit von Geometrie- und Werkstoffkennwerten bestimmen. 

Wichtig

Im kommenden Kurstext setzen wir unsere Berechnung fort.