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Um die Zusatzbelastung der Schraube und die Entlastung der verspannten Teile im Betriebszustand zu Bestimmen, ist es sinnvoll, die Schraubenzusatzkraft $ F_{SA} $ und die Zusatzkraft der Verspannteile $ F_{PA} $ als Anteil an der axialen Betriebskraftskraftkomponente $ F_A $ zu formulieren. Diesen Anteil werden wir am Ende dieses Kurstextes als Kraftverhältnis $ \Phi $ vorstellen und in die Gleichungen zur Berechnung der Schraubenzusatzkraft und der Zusatzkraft der Verspannteile einfügen.
Dazu gehen wir wie folgt vor:
Allgemeine Gleichungen
Zuerst stellen wir hierfür die Gleichung für die beiden Zusatzkräfte $ F_{SA} $ und $ F_{PA} $ auf. Zuerst für die Schraubenzusatzkraft $ F_{SA} $ indem wir die Formel für die Nachgiebigkeit $ \delta = \frac{f}{F} $ nach der Kraft umstellen. Demnach erhalten wir:
Merke
Wobei $ \ f_{SA} $ die zusätzliche Verformung der Schraube unter Betriebskraft und $ \delta_S $ die Nachgiebigkeit der Schraube beschreibt.
Gleiches gilt für die Zusatzkraft der Verspannteile $ F_{PA} $:
Merke
Hier stehen $\ f_{PA} $ für die zusätzliche Verformung und $ \delta_P $ für die Nachgiebigkeit der verspannten Teile unter Betriebskraft.
Kraftbestimmung in Abhängigkeit von Betriebskraft und Nachgiebigkeiten
Wie du bereits wissen solltest, entspricht $ f_{SA} = f_{PA} $. Durch Umstellen der Gleichung erhalten wir:
Merke
Methode
Wir wissen, dass
$ F_{SA} + F_{PA} = F_A $ gilt und stellen nach $ F_{PA} = F_A - F_{SA} $ um.
Anschließend setzen wir diesen Term in die Gleichung in der Merkebox ein:
$ 0 = \delta_S \cdot F_{SA} - \delta_P \cdot F_{PA} = \delta_S \cdot F_{SA} - \delta_P \, (F_A - F_{SA}) $
Da wir später $ F_{SA} $ berechnen wollen, multiplizieren wir den Subtrahenden aus und klammern $ F_{SA} $ aus:
$ 0 = \delta_S \cdot F_{SA} - \delta_P \cdot F_A + \delta_P \cdot F_{SA} $
$ 0 = F_{SA} \, (\delta_S + \delta_S) - \delta_P \cdot F_A $
Nun brauchen wir nur noch die Gleichung nach $ F_{SA} $ umstellen.
So erhalten wir für die Zusatzbelastung der Schraube:
Merke
Stellen wir $ F_{SA} + F_{PA} = F_A $ nach $ F_{SA} $ um und folgen analog dem obigen Rechenweg, so erhalten wir für die Entlastung der verspannten Teile:
Merke
Methode
Noch eleganter wird die Bestimmung durch die Ermittlung des Kraftverhältnisses.
Kraftbestimmung durch Angabe von Betriebskraft und Kraftverhältnis
Das Kraftverhältnis entspricht dem Verhältnis von der Schraubenzusatzkraft $ F_{SA} $ zu der axialen Betriebslast $ F_A $:
Merke
Kraftverhältnis: $ \Phi_K = \frac{F_{SA}}{F_A} $
Der Index K bedeutet, dass das Kraftverhältnis bei der Krafteinleitung in den Schraubenkopf- und die Mutternauflage gemeint ist. Bei andersgearteten Krafteinleitungen werden entsprechend andere Indizes verwendet.
Methode
Betrachten wir die Gleichungen für die Zusatzkraft der Schraube, so erkennen wir, dass wir durch Umstellen der Gleichung auch zu dem mathematischen Ausdruck des Kraftverhältnisses kommen:
$ F_{SA} = \frac{\delta_P}{\delta_S + \delta_P} \cdot F_A $ $ \longleftrightarrow $ $ \frac{F_{SA}}{F_A} = \frac{\delta_P}{\delta_S + \delta_P} $
Das Kraftverhältnis können wir folglich auch aus den Verformbarkeiten von der Schraube $ \delta_S $ und der Verspannteile $ \delta_P $ berechnen:
Merke
Kraftverhältnis: $ \Phi_K = \frac{\delta_P}{\delta_S + \delta_P} $
Wir können nun unsere Gleichungen für die Zusatzkräfte vereinfachen zu:
Merke
Merke
Methode
Dass der Term $ (1 - \Phi_K) $ gleich dem Term $ \frac{\delta_S}{\delta_S + \delta_P} $ entspricht, sehen wir durch diese kurze Rechnung:
$ 1 - \Phi_K = 1 - \frac{\delta_P}{\delta_S + \delta_P} = \frac{\delta_S + \delta_P}{\delta_S + \delta_P} - \frac{\delta_P}{\delta_S + \delta_P} = \frac{\delta_S + \delta_P - \delta_P}{\delta_S + \delta_P} = \frac{\delta_S}{\delta_S + \delta_P} $
Hinweis
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