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Maschinenelemente 2

Kraftverhältnis im Betriebszustand

Um die Zusatzbelastung der Schraube und die Entlastung der verspannten Teile im Betriebszustand zu bestimmen, ist es sinnvoll, die Schraubenzusatzkraft $ F_{SA} $ und die Zusatzkraft der Verspannteile $ F_{PA} $ als Anteil an der axialen Betriebskraftskraftkomponente $ F_A $ zu formulieren. Diesen Anteil werden wir am Ende dieses Kurstextes als Kraftverhältnis $ \Phi $ vorstellen und in die Gleichungen zur Berechnung der Schraubenzusatzkraft und der Zusatzkraft der Verspannteile einfügen.

Dazu gehen wir wie folgt vor:

Allgemeine Gleichungen

Zuerst stellen wir hierfür die Gleichung für die beiden Zusatzkräfte $ F_{SA} $ und $ F_{PA} $ auf. Zuerst für die Schraubenzusatzkraft $ F_{SA} $ indem wir die Formel für die Nachgiebigkeit $ \delta = \frac{f}{F} $ nach der Kraft umstellen. Demnach erhalten wir:

Methode

Schraubenzusatzkraft: $ F_{SA} = \frac{f_{SA}}{\delta_S} $

Wobei $ \ f_{SA} $ die zusätzliche Verformung der Schraube unter Betriebskraft und $ \delta_S $ die Nachgiebigkeit der Schraube beschreibt. 

Gleiches gilt für die Zusatzkraft der Verspannteile $ F_{PA} $:

Methode

Zusatzkraft der verspannten Teile: $ F_{PA} = \frac{f_{PA}}{\delta_P} $

Hier stehen $\ f_{PA} $ für die zusätzliche Verformung und $ \delta_P $ für die Nachgiebigkeit der verspannten Teile unter Betriebskraft.

Kraftbestimmung in Abhängigkeit von Betriebskraft und Nachgiebigkeiten

Wie du bereits wissen solltest, entspricht $ f_{SA} = f_{PA} $. Durch Umstellen der Gleichung erhalten wir: 

Methode

$ 0 = \delta_S \cdot F_{SA} - \delta_P \cdot F_{PA} $

Merke

Wir wissen, dass
$ F_{SA} + F_{PA} = F_A $ gilt und stellen nach $ F_{PA} = F_A - F_{SA} $ um.


Anschließend setzen wir diesen Term in die Gleichung in der Merkebox ein:
$ 0 = \delta_S \cdot F_{SA} - \delta_P \cdot F_{PA} = \delta_S \cdot F_{SA} - \delta_P \, (F_A - F_{SA}) $

Da wir später $ F_{SA} $ berechnen wollen, multiplizieren wir den Subtrahenden aus und klammern $ F_{SA} $ aus:
$ 0 = \delta_S \cdot F_{SA} - \delta_P \cdot F_A + \delta_P \cdot F_{SA} $
$ 0 = F_{SA} \, (\delta_S + \delta_S) - \delta_P \cdot F_A $

Nun brauchen wir nur noch die Gleichung nach $ F_{SA} $ umstellen.

So erhalten wir für die Zusatzbelastung der Schraube:

Methode

Schraubenzusatzkraft:  $ F_{SA} = \frac{\delta_P}{\delta_S + \delta_P} \cdot F_A $

Stellen wir $ F_{SA} + F_{PA} = F_A $ nach $ F_{SA} $ um und folgen analog dem obigen Rechenweg, so erhalten wir für die Entlastung der verspannten Teile:

Methode

Zusatzkraft der Verspannteile: $ F_{PA} = \frac{\delta_S}{\delta_S + \delta_P} \cdot F_A $

Merke

Beide Kräfte lassen sich somit durch Kenntnis der Betriebskraft und der beiden Nachgiebigkeiten ermitteln. 

Noch eleganter wird die Bestimmung durch die Ermittlung des Kraftverhältnisses.

Kraftbestimmung durch Angabe von Betriebskraft und Kraftverhältnis

Das Kraftverhältnis entspricht dem Verhältnis von der Schraubenzusatzkraft $ F_{SA} $ zu der axialen Betriebslast $ F_A $:

Methode

Kraftverhältnis: $ \Phi_K = \frac{F_{SA}}{F_A} $

Der Index K bedeutet, dass das Kraftverhältnis bei der Krafteinleitung in den Schraubenkopf- und die Mutternauflage gemeint ist. Bei andersgearteten Krafteinleitungen werden entsprechend andere Indizes verwendet.

Merke

Betrachten wir die Gleichungen für die Zusatzkraft der Schraube, so erkennen wir, dass wir durch Umstellen der Gleichung auch zu dem mathematischen Ausdruck des Kraftverhältnisses kommen:

$ F_{SA} = \frac{\delta_P}{\delta_S + \delta_P} \cdot F_A $ $ \longleftrightarrow $ $ \frac{F_{SA}}{F_A} = \frac{\delta_P}{\delta_S + \delta_P} $

Das Kraftverhältnis können wir folglich auch aus den Verformbarkeiten von der Schraube $ \delta_S $ und der Verspannteile $ \delta_P $ berechnen:

Methode

Kraftverhältnis: $ \Phi_K = \frac{\delta_P}{\delta_S + \delta_P} $

Wir können nun unsere Gleichungen für die Zusatzkräfte vereinfachen zu:

Methode

Schraubenzusatzkraft: $ F_{SA} = \Phi_K \cdot F_A $

Methode

Zusatzkraft der Verspannteile: $ F_{PA} = (1 - \Phi_K) \cdot F_A $

Merke

Dass der Term $ (1 - \Phi_K) $ gleich dem Term $ \frac{\delta_S}{\delta_S + \delta_P} $ entspricht, sehen wir durch diese kurze Rechnung:
$ 1 - \Phi_K = 1 - \frac{\delta_P}{\delta_S + \delta_P} = \frac{\delta_S + \delta_P}{\delta_S + \delta_P} - \frac{\delta_P}{\delta_S + \delta_P} = \frac{\delta_S + \delta_P - \delta_P}{\delta_S + \delta_P} = \frac{\delta_S}{\delta_S + \delta_P} $

 

Hinweis

Wir führen unsere Berechnungen fort, indem wir im kommenden Kurstext Gleichungen für die Gesamtbelastung von Schraube und verspannten Teilen aufstellen.