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Maschinenelemente 2

Hertzsche Gleichungen

Wie aus dem vorherigen Kurstext bereits bekannt sein sollte, treten durch punktförmige (Kugeln) und linienförmige (Rollen) Berührungen elastische Abplattungen an der Berührungszone ein. Die Verhältnisse zwischen dem unverformten und verformten Zustand lassen sich durch die Hertzschen Gleichungen berechnen. 

Dabei gelten die bereits erwähnten Vorraussetzungen:

  • Der Werkstoff ist homogen und isotrop.
  • Die entstehende Druckflächen sind eben.
  • ausschließlich Normalkräfte an den Druckflächen
  • keine Tangentialkräfte
  • ausschließlich elastische Verformungen
  • Es gilt das Hookesche Gesetz.

Hertzsche Pressung

Im Betrieb eines Wälzlager tritt eine parabelförmige Flächenpressungsverteilung auf, die als Hertzsche Pressung bezeichnet wird. Sie lässt sich aus den Ergebnissen der elastischen Verformungen für beliebig gekrümmte Flächen berechnen, die in direktem Kontakt zueinander stehen. 

In der nächsten Abbildung siehst du hierzu eine Darstellung von zwei Kugeln.

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Infolge der Normakraft $ F $ entsteht eine Flächenpressung $ p $. In unserem Fall betrachten wir die maximale Flächenpressung $ p_{max} $. Zudem ist in der Abbildung der Radius der Abplattung $ a $ bzw. $ R $ und die Annäherung beider Körper $ \delta $ eingetragen. 

Mit Kenntnis dieser Größen lässt sich eine Gleichung für die Punktberührung und eine Gleichung für die Linienberührung aufstellen.

Hertzsche Pressung bei Punktberührung

Methode

Hertzsche Pressung bei Punktberührung: $ p_{maxp} = - \frac{1}{\pi} \sqrt[3]{\frac{1,5 \, \cdot \, F \, \cdot \, E^2}{R^2 \cdot \, ( 1 - \nu^2)^2}} $ 

Weitere Einflussgrößen und deren Berechnung:

$ E $ = resultierendes Elastizitätsmodul $ \rightarrow  E = \frac{2 \, \cdot \, E_1 \, \cdot \, E_2}{E_1 + E_2} $

$ R $ = Ersatzkrümmungsradius (Punkt) $ \rightarrow  \frac{1}{R}= \frac{1}{2} \cdot ( \frac{1}{r_{1x}} +  \frac{1}{r_{1y}}) + \frac{1}{2} \cdot ( \frac{1}{r_{2x}} + \frac{1}{r_{2y}})$

$ r_{1x}, r_{1y} $ = Radien des Wälzkörpers

$ r_{2x}, r_{2y} $ = Radien des Ringes 

$ \nu $ = Querkontraktionszahl

Merke

Der Zahlenwert für  $ p_{maxp} $ sowie für den nachfolgenden Zahlenwert bei Linienberührung  $ p_{maxl} $ gibt den Maximalwert der Pressung an!

Hertzsche Pressung bei Linienberührung 

Methode

Hertzsche Pressung bei Linienberührung: $ p_{maxl} = - \sqrt{\frac{F \, \cdot \, E}{2 \, \cdot \, \pi \, \cdot \, R \, \cdot \, L \, \cdot \, ( 1 - \nu^2)}} $

Weitere Einflussgrößen und deren Berechnung:

$ L $ = Länge der Linienberührung

$ R $ = Ersatzkrümmungsradius (Linie) $\rightarrow \frac{1}{R} = \frac{1}{r_{1x}} + \frac{1}{r_{1y}} + \frac{1}{r_{2x}} + \frac{1}{r_{2y}} $

Merke

Die Angabe der Hertzschen Pressung erfolgt normalerweise mit negativem Vorzeichen, weil eine Druckbeanspruchung vorliegt.