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Maschinenelemente 2

Hertzsche Gleichungen

Wie aus dem vorherigen Kurstext bereits bekannt sein sollte, treten durch punktförmige [Kugeln] und linienförmige [Rollen] Berührungen elastische Abplattungen an der Berührungszone ein. Die Verhältnisse zwischen dem unverformten und verformten Zustand lässt sich durch die Hertzschen Gleichungen berechnen. 

Dabei gelten die bereits erwähnten Vorraussetzungen:

  • Werkstoff ist homogen und isotrop
  • Entstehende Druckflächen sind eben
  • Ausschließlich Normalkräfte an den Druckflächen
  • Keine Tangentialkräfte
  • Ausschließlich elastische Verformungen.
  • Es gilt das Hookesche Gesetz

Hertzsche Pressung

Im Betrieb eines Wälzlager tritt eine parabelförmige Flächenpressungsverteilung auf, die als Hertzsche Pressung bezeichnet wird. Sie lässt sich aus den Ergebnissen der elastischen Verformungen  für beliebige gekrümmte Flächen berechnen, die in direktem Kontakt zueinander  stehen. 

In der nächsten Abbildung sehen Sie hierzu eine Darstellung von zwei Kugeln:

Flächenpressung
Flächenpressung

Infolge der Normakraft $ F $  entsteht eine Flächenpressung $ p $. In unserem Fall betrachten wir die maximale Flächenpressung $ p_{max} $ Zudem ist in der Abbildung der Radius der Abplattung $ r $ und die Annäherung beider Körper $\delta $ eingetragen. 

Mit Kenntnis dieser Größen lässt sich eine Gleichung für die Punktberührung und eine Gleichung für die Linienberührung aufstellen.

Hertzsche Pressung bei Punktberührung

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Hertzsche Pressung bei Punktberührung: $\ p_{maxp} = - \frac{1}{\pi} \sqrt[3]{ \frac{1,5 \cdot F \cdot E^2}{R^2 \cdot ( 1 - \nu)}} $ 

Weitere Einflussgrößen und deren Berechnung

$ E = $ resultierendes Elastizitätsmodul $\rightarrow  E = \frac{2 \cdot E_1 \cdot E_2}{E_1 + E_2} $

$ R = $ Ersatzkrümmungsradius [Punkt] $\rightarrow \frac{1}{R}= \frac{1}{2} \cdot ( \frac{1}{r_{1x}} +  \frac{1}{r_{1y}}) +  \frac{1}{2} \cdot ( \frac{1}{r_{2x}} +  \frac{1}{r_{2y}})$

$ r_{1x}, r_{1y} = $ Radien des Wälzkörpers

$ r_{2x}, r_{2y} = $ Radien des Ringes 

$ \nu = $ Querkontraktionszahl

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Der Zahlenwert für $\ p_{maxp} $ sowie für den nachfolgenden Zahlenwert bei Linienberührung $\ p_{maxl} $ gibt den Maximalwert der Pressung an!

Hertzsche Pressung bei Linientberührung 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Hertzsche Pressung bei Linienberührung: $\ p_{maxl} = - \sqrt{\frac{ F \cdot E}{2 \cdot \pi \cdot R \cdot L \cdot ( 1 - \nu^2)}} $

Weitere Einflussgrößen:

$ L = $ Länge der Linienberührung

$ R = $ Ersatzkrümmungsradius [Linie] $\rightarrow \frac{1}{R} = \frac{1}{r_{1x}} + \frac{1}{r_{1y}} + \frac{1}{r_{2x}} + \frac{1}{r_{2y}} $

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Die Angabe der Hertzschen Pressung erfolgt normalerweise mit negativem Vorzeichen, weil eine Druckbeanspruchung vorliegt.