Kursangebot | Technische Mechanik 2: Elastostatik | Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung

Technische Mechanik 2: Elastostatik

Formelsammlung Koordinatentransformation und Schnittwinkeländerung

In diesem Abschnitt werden die in den vorherigen Abschnitten ermittelten Gleichungen für die Koordinatentransformation und SchnittWinkeländerung zusammengefasst.

Hauptnormalspannung (Extremwerte der Normalspannung)

Methode

$ \sigma_{1,2} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $

Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptnormalspannung

Methode

$\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$      


Es existieren zwei Winkel, für welche die obige Gleichung erfüllt ist. Einmal der ermittelte Winkel $\alpha^*$ und der Winkel $\alpha^* + 90°$. Ein Winkel gilt für den Winkel von $\sigma_1$ zur positiven $x$-Achse, der andere für $\sigma_2$ zur positiven $x$-Achse.

Merke

Um herauszufinden, welcher der beiden Winkel beispielsweise zu $\sigma_1 $ zugehörig ist, kann man die Winkel in die Ausgangsgleichungen $\sigma_x^*$ bzw. $\sigma_y^*$ einsetzen. 

Die Ausgangsgleichungen werden hier nochmal aufgeführt:

$ \sigma_{x^*} = \frac{1}{2} (\sigma_x + \sigma_y) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y) \cos (2 \alpha) + \tau_{xy}\sin (2 \alpha) $

$ \sigma_{y^*}= \frac{1}{2} (\sigma_x + \sigma_y) + \frac{1}{2} ( -\sigma_x + \sigma_y) \cos (2 \alpha) - \tau_{xy}\sin (2 \alpha) $

$\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} = \frac{1}{2}(-\sigma_x + \sigma_y) \sin (2 \alpha) + \tau_{xy} \cos (2 \alpha)$

Schubspannungen bei Hauptnormalspannungen

Dort wo die Normalspannungen ihre Extremwerte $\sigma_1$ bzw. $\sigma_2$ annehmen, werden die Schubspannungen

$\tau_{x^*y^*} = \tau_{y^*x^*} = 0$.

Das bedeutet auch, dass wenn keine Schubspannungen auftreten, die zugehörigen Normalspannungen Hauptnormalspannungen darstellen. 

Hauptschubspannungen (Extremwerte der Schubspannungen)

Methode

$\tau_{1/2} = \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2}$


Alternativ können die Hauptschubspannungen auch über die Hauptnormalspannungen berechnet werden:

Methode

$\tau_{1/2} = \tau_{max} = \pm (\frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}) $ 

Winkel bei denen die Hauptschubspannungen auftreten

Die Hauptschubspannungen für einen gegebenen Spannungszustand treten bei einem bestimmten Winkel auf. Hierbei wird der Winkel bestimmt, um welchen sich das Ausgangskoordinatensystem drehen muss (Linksdrehung), damit die Schubspannungen ihre Extremwerte annehmen:

Methode

$\tan (2\alpha^{**}) = - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{(2 \tau_{xy})}$


Alternativ kann die Berechnung des Winkels auch über die Hauptrichtungen der Hauptnormalspannungen erfolgen: 

Methode

$\alpha^{**} = \alpha^* \pm \frac{\pi}{4} $

mit $\frac{\pi}{2} = 45°$

Normalspannung bei Hauptschubspannungen

Liegen die Hauptschubspannungen vor, so nehmen die Normalspannungen ihren mittleren Wert an. Dieser kann berechnet werden zu:

Methode

$\sigma_m = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} $.

Invarianten

Es gelten die folgenden Zusammenhänge

$I_1 = \sigma_1 + \sigma_2  = \sigma_{x^*} + \sigma_{y^*} =  \sigma_x + \sigma_y $

$I_2 = \sigma_1\sigma_2  = \sigma_{x^*} \sigma_{y^*} - \tau_{x^*y^*}^2 = \sigma_x\sigma_y - \tau^2_{xy} $