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Mechanische Verfahrenstechnik - Empirische Verteilungsfunktionen

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Mechanische Verfahrenstechnik

Empirische Verteilungsfunktionen

PartikelgrößenVerteilungen realer Stoffsysteme werden messtechnisch bestimmt. Zur Anwendung kommen wahrscheinlichkeitstheoretische Überlegungen und Erfahrungswerte, die zur Beschreibung von Korngrößenverteilungen genutzt werden können. 

Zu Beginn liegen uns wie bereits bekannt zwei gemessene Wertepaare vor:

  • $ ( q_{r,i}, x_i) $
  • $ (Q_{r,i}, x_i) $

Diese werden durch moderne Messgeräte digital bespeichert. Anschließend lassen sich diese in Diagrammen darstellen und liefern die Verteilungsdichte- bzw. Verteilungssummenfunktion.

Wie viele Wertepaare gebildet werden, orientiert sich am Messverfahren oder festgelegten Vorgaben. Eine Anzahl im mittleren dreistelligen Bereich ist hierbei nicht ungewöhnlich. 

Merke

In vielen Fällen soll die Partikelgrößenverteilung durch eine Verteilungsfunktion ermittelt werden, die außerdem als Ausgleichsfunktion für die Messwerte steht.

Die hier gleich im Kurs thematisierten empirischen Verteilungsfunktionen beinhalten zwei Parameterwerte:

  1. Lageparameter: Kennzeichnet die absolute Größe des Partikelkollektivs,
  2. Streuungsparameter: Beschreibt den Größenbereich des Partikelkollektivs

Größen des Lageparameters sind:

  • Medianwert, $ x_{50} $
  • Modalwert, $ x_{mod,r} $
  • gewogenes Mittel, $ \overline{x_r} $
  • integraler Mittelwert. $ \overline{x^k}$ mit $ = M_{k,0} $

Größen des Streuungsparameters sind:

  • Minimale und maximale Partikelgröße, $ x_{min}, x_{max} $
  • Differenzbetrag aus minimaler und maximaler Partikelgröße, $ | x_{min} - x_{max}| $
  • Spezielle Partikelgrößen, $ x_{90} $. $ x_{10} $
  • Varianz, $ \sigma_r^2 $ 

Merke

Die charakteristischen Parameterwerte sind an das Partikelkollektiv angepasst und approximieren den Verlauf der Verteilungskurven [gegeben durch Messpunkte] eindeutig durch eine stetige Funktion. Dadurch wird es möglich Mittelwerte und spezifische Oberflächen der Partikelkollektive direkt zu bestimmen.

Dabei gilt, dass die Beschreibung des Wertepaares der Verteilungssummenfunktion $ Q_r(x) mit Hilfe einer Verteilungsfunktion erlaubt durch Ableiten nach x aus der approximierenden Funktion die zugehörige Verteilungsdichtefunktion $ q_r(x) $ zu berechnen.

Merke

Da es bis heute keine gängige Funktion gibt, die alle möglichen Arten von Partikelgrößenverteilungen umfassend beschreibt, wurden im Zeitverlauf empirische, z.T. noch theoretische, Funktionen entwickelt, die den durch Messpunkte angedeuteten Verlauf der Verteilungskurven ausreichend genau beschreiben. Du solltest an dieser Stelle aber wissen, dass die Beschreibung nur für einzelne Fälle ausreicht.

Man kann davon ausgehen, dass bestimmte Herstellungsprozesse bzw. Erzeugungsarten von Partikeln ähnliche
Partikelgrößenverteilungen zur Folge haben. Daher werden die einzelne Funktionen im Zusammenhang
mit einer bestimmten Methode zur Partikelerzeugung (z. B. dem Feinmahlen) angewendet.
Einige empirische Verteilungsfunktionen wurden auch in DIN-Normen zur Darstellung
von Korngrößenverteilungen (DIN 66141) berücksichtigt. Folgende Verteilungsfunktionen werden wir in diesem Kurs thematisieren

− die Normalverteilung
− die GGS-Verteilung
− die RRSB-Verteilung 
− die LNVT-Verteilung

Alle Funktionen sind zweiparametrige Näherungen für gemessene Verteilungen. Ein Parameter beschreibt die Lage der Verteilung, der andere Parameter beschreibt die Breite der Verteilung. 

Hinweis

Was hinter den Kürzeln steckt, erklären wir dir in diesem Kursabschnitt.