Median, Modus, Arithmetisches Mittel, Statistische Lagemaße

Um nicht die gesamte PartikelgrößenVerteilung und dem entsprechend die Verteilungsfunktion bestimmen zu müssen, kann man statistische Maßzahlen angeben, welche die Lage und die Breite der Verteilung beschreiben. 

Statistische Lagemaße

Im ersten Schritt bestimmen wir die statistischen Lagemaße

Median

Median $ x_{50, r} $: Beschreibt die Partikelgröße bei der jeweils 50 % der Partikel unterhalb und oberhalb dieser Größe liegen. Um die Mengenart festzulegen nutzt man den Index $ r $.

Bezogen auf die grafische Darstellung entspricht der Median dem Schnittpunkt von Verteilungssummenkurve und der 50% Horizontalen. 

Modus

Modus $ x_{mod, r} $ oder auch Modalwert : Er stellt den Maximalwert der Verteilungsdichtefunktion dar, womit der Modus die Partikelgröße mit größten Menge darstellt $\rightarrow q_r(x_{mod,r}) = max $

Nicht selten treten in Verteilungen verschiedene lokale Maxima auf, weshalb man deren Ausprägungen voneinander unterscheidet:

- unimodale Verteilung

Unimodale Verteilung

- bimodale Verteilung

Bimodale Verteilung

- multimodale Verteilung

Multimodale Verteilung

 Arithmetisches Mittel

Anders als der Median oder Modus, gibt das Arithmetische Mittel nicht nur Einzelwerte wieder, sondern die gewichteten Anteile der gesamten Verteilung. 

Die hier genutzte Mengenart ist die Anzahl und eignet sich für lineare Partikelabmessungen. Formal drückt sich diese aus durch:

Kennwerte: $ \Delta Z_i $ = Anzahl der Partikel in der Größenklasse i, $ Z_{ges} = \sum_{i = 1}^{n} \Delta Z_i $ = Gesamtzahl der Partikel in allen Größenklassen.

Liegt eine stetige oder diskrete Verteilung vor, so berechnet sich das Arithmetische Mittel durch:

Eindimensionale Abmessung

$ \overline{x} = \int_{x_{min}}^{x_{max}} x \cdot q_0(x) dx \rightarrow $ Stetige eindimensionale Partikelabmessung (Länge)

Zweidimensionale Abmessung

$ \overline{x}^2 = \sum \overline{x}_i^2 \cdot \Delta Q_{0,i} \rightarrow $ Diskrete zweidimensionale Partikelabmessung (Fläche)

$ \overline{x}^2 = \int_{x_{min}}^{x_{max}} x^2 \cdot q_0(x) \cdot dx \rightarrow $ Stetige zweidimensionale Partikelabmessung (Fläche)

Dreidimensionale Abmessung

$ \overline{x}^3 = \sum_{i = 1}^{n} \overline{x}^3 \cdot \Delta Q_{0,i} \rightarrow $ Diskrete dreidimensionale Partikelabmessung (Volumen)

$ \overline{x}^3 = \int \overline{x}^3 \cdot q_0(x) \cdot dx \rightarrow $ Stetige dreidimensionale Partikelabmessung (Volumen)

Statistische Momente

Das vollständige k-te Moment der $ q_r-$Verteilung von x liegt vor, wenn die Integrationsgrenzen den vollständigen Partikelgrößenbereich abdecken. Formal beschrieben wird es durch:

Das unvollständige k-te Moment der $q_r-$ Verteilung von x liegt vor, wenn obiges nicht der Fall ist. Hier schreibt man:

$ M_{k,r} = \int_{x_1}^{x_2} x^k \cdot q_r(x) dx \rightarrow $ mit $ x_{min} < x_1 \le x \le x_2 < x_max $ wobei $ (x_1 \not{=} x_2) $