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Mechanische Verfahrenstechnik - Verteilungsdichte

Kursangebot | Mechanische Verfahrenstechnik | Verteilungsdichte

Mechanische Verfahrenstechnik

Verteilungsdichte

Die Verteilungsdichte $ q_r(x) $ gibt uns Auskunft darüber, mit welchem Mengenanteil der verschiedenen Mengenarten eine vorliegende Dispersitätsgröße an der Größenverteilung im Merkmalsintervall $\Delta x $ beteiligt ist. Hierbei können wir uns erneut dem Sieben bedienen um den Massenanteil zu bestimmen, welcher zwischen Sieben mit den Maschenweiten $ x_i $ und $ x_{i-1} $ verbleibt.

Stetige und Diskrete Verteilungsdichtekurve

Ähnlich wie bei der Verteilungssumme können wir sowohl eine stetige, als auch diskrete Verteilungsdichtekurve erzeugen. 

Bei der grafischen Darstellung wird häufig der Verteilungsdichte $ q_r (x_2, x_1) $ als konstant angenommen. Den zugeordneten Mengenanteil trägt man anschließend als Rechteck über der Merkmalsklasse auf. Die formale Schreibweise hierfür ist:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \Delta x \cdot \delta Q_r (x_2, x_1) = q_r(x_2, x_1) \cdot \Delta x $

Nach der Berechnung entsteht ein Säulendiagramm welches dir aus der Statistik als Histogramm bekannt sein könnte. 

  1. Stetige Verteilungsdichtekurve
    Stetige Verteilungsdichtekurve
    Stetige Verteilungsdichtekurve


  2. Diskrete Verteilungsdichtekurve
    Diskrete Verteilungsdichtekurve
    Diskrete Verteilungsdichtekurve

Je enger die Intervalle gefasst umso stärker wandelt sich die diskrete Verteilungsdichtekurve in eine stetige Funktion für die Verteilungsdichte. Formal ausgedrückt:

$ q_r (x) = \frac{dQ_r(x)}{dx} $

Im nächsten Schritt lösen wir die Gleichung nach $ dQ_r $ auf und erhalten somit die graue Fläche unter der Kurve der stetigen Verteilungsdichtekurve:

$ q_r (x) = \frac{dQ_r(x)}{dx} \rightarrow dQ_r = q_r(x) \cdot dx $

Mit Hilfe eines Integrals können wir die gesamte Fläche unter der Kurve beschreiben:

$ \int_{x_{min}}^{x_{max}} q_r(x) \cdot dx = 1 $

Integral - Gesamtfläche unter Kurve
Integral - Gesamtfläche unter Kurve

Durchgang und Rückstand bei der Siebanalyse

Nutzen wir als Untersuchungsmethode die Siebanalyse mit abfallender Maschenweite bei der Versuchsdurchführung, so stellt der Durchgang $ D(x) $ die relative Masse unterhalb des Siebes und der Rückstand $ R(x) $ die relative Masse überhalb des Siebes dar.

Beide Größen ($ D(x), R(x) $) können formal beschrieben werden durch:

$ D(x) = \frac{\text{Masse des Durchgangs}}{\text{Gesamtmasse}} = Q_3(x) $

$ R(x) = \frac{\text{Masse des Rückstandes}}{\text{Gesamtmasse}} = 1 - Q_3(x) $

Da wir von einer Gesamtmasse (=1) ausgehen, die sich aus Rückstand und Durchgang zusammensetzt erhalten wir folgende Gleichung: 

$ R(x) + D(x) = 1 $