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Mechanische Verfahrenstechnik - Verteilungssumme

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Mechanische Verfahrenstechnik

Verteilungssumme

Inhaltsverzeichnis

Die Summenverteilung $ Q_r (x_i) [Q_r $ ist das Formelzeichen für Quantil], bezogen auf eine festgelegte Merkmalsgröße x, gibt aus Auskunft darüber welche Mengenanteil eines Partikelkollektivs kleiner ist als ein vorgegebener Wert $ x_i $. Formal errechnet sich die Summenverteilung mit

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ Q_r (x_i) = \frac{\text{Menge aller Partikel mit} x \le x_i }{Gesamtmenge} $

Wir können uns die Untersuchung vereinfachen, indem wir das Partikelkollektiv in Intervalle unterteilen. Hieraus ergibt sich eine Partikelklasse $ i $ der Merkmalgröße $ x $:

Intervall einer Partikelklasse
Intervall einer Partikelklasse

Unter Verwendung eines arithmetischen Mittels können wir die mittlere Partikelgröße in diesem Intervall bestimmen:

$ \overline{x}_i = \frac{x_i + x_{i-1}}{2} $

Die betrachtete Partikelklasse können wir dem entsprechenden Mengenanteil zuordnen. Für den Äquivalenzdurchmesser als Dispersitätsgröße einer volumengleichen Kugel $ d_v $ erhalten wir mit der Verteilungssumme $ Q_r(d_{Vi}) $ eine normierte Gesamtmenge aller Teilchen, die einen Äquivalenzdurchmesser $ < d_v $ aufweist. 

Beachte bei deinen Überlegungen zur Summenverteilung $ Q_r $ die Normierungsbedingung:

  1. $ Q_r (x_{min}) = 0 $
  2. $ Q_r (x_{max}) = 1 $

Mengenart

Soll die Partikelgrößenverteilung dargestellt werden, so bestimmt man die Mengenanteile, mit denen die jeweiligen Partikelklassen an der dispersen Phase beteiligt sind.

Merke

Hier klicken zum AusklappenZur Bestimmung lassen sich unterschiedliche Mengenarten nutzen. Zählt man die Partikel, so ist die Mengenart die Anzahl. Bei Wägungen hingegen ist es die Masse bzw. bei homogener Dichte  $\rho $ das Volumen. Weitere leiten sich aus Längen, Projektions- und Oberflächen her. 

Die nächste Tabelle führt Mengenarten inkl. Index und Bezeichnung auf:

MengenartIndex $ r $BezeichnungMessart/Messverfahren
Anzahl0$ Q_0 (x) $elektrische Mobilitätsanalyse (Zählen)
Länge1$ Q_1 (x) $Sedimentationsanalyse
Fläche2$ Q_2 (x) $Extinktionsmessung
Masse, Volumen 3$ Q_3 (x) $Siebanalyse (Wiegen)

Merke

Hier klicken zum AusklappenMit dem Index r der Summenfunktion können wir die Mengenart kennzeichnen. 

Stetige und diskrete Summenverteilungskurve

Zur graphischen Darstellung mit Hilfe einer Summenverteilungskurve verwendet man ein normiertes Mengenmaß. Die Normierung löst die Abhängigkeit der Mengenanteile von der Gesamtmenge auf. Bei einer Partikelgrößenverteilung wird die vorliegende Partikelgröße auf der Abszisse und das Mengenmaß $ Q_r $ bzw.  $ q_r $ [folgt noch] auf der Ordinate aufgetragen.

  1. Stetige Summenverteilungskurve
    Stetige Summenverteilungskurve
    Stetige Summenverteilungskurve
  2. Diskrete Summenverteilungskurve
    Diskrete Summenverteilungskurve
    Diskrete Summenverteilungskurve

Beispiel - Sieben und Wiegen $ Q_3 $

Maschen eines Siebs
Maschen eines Siebs

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen
Durch einen Siebvorgang von $ 200 g $ Gesamtmasse ergibt sich eine Menge von $30 g $, die durch eine Maschenweite von $ 1mm $ durch das Sieb gefallen ist und deren Partikel somit $ < 1 mm $ sind. Formal erhalten wir:

$ Q_3 (1mm) = \frac{30g}{200g} = 0,15 $  

Diese Menge kann dann in einem weiteren Durchgang durch eine engere Maschenweite gesiebt werden. Erneut erhalten wir eine Menge, die ins Verhältnis zur Gesamtmenge gesetzt werden kann. Dieser Vorgang lässt sich so oft wiederholen bis die gewünschte Auswertung/Klassifizierung vorliegt.


Hinweis

Hier klicken zum AusklappenIm nächsten Kurstext betrachten wir die Verteilungsdichte.