Verteilungssumme

Die Summenverteilung $ Q_r (x_i) [Q_r $ ist das Formelzeichen für Quantil], bezogen auf eine festgelegte Merkmalsgröße x, gibt aus Auskunft darüber welche Mengenanteil eines Partikelkollektivs kleiner ist als ein vorgegebener Wert $ x_i $. Formal errechnet sich die Summenverteilung mit

Wir können uns die Untersuchung vereinfachen, indem wir das Partikelkollektiv in Intervalle unterteilen. Hieraus ergibt sich eine Partikelklasse $ i $ der Merkmalgröße $ x $:

Intervall einer Partikelklasse

Unter Verwendung eines arithmetischen Mittels können wir die mittlere Partikelgröße in diesem Intervall bestimmen:

$ \overline{x}_i = \frac{x_i + x_{i-1}}{2} $

Die betrachtete Partikelklasse können wir dem entsprechenden Mengenanteil zuordnen. Für den Äquivalenzdurchmesser als Dispersitätsgröße einer volumengleichen Kugel $ d_v $ erhalten wir mit der Verteilungssumme $ Q_r(d_{Vi}) $ eine normierte Gesamtmenge aller Teilchen, die einen Äquivalenzdurchmesser $ < d_v $ aufweist. 

Beachte bei deinen Überlegungen zur Summenverteilung $ Q_r $ die Normierungsbedingung:

1. $ Q_r (x_{min}) = 0 $
2. $ Q_r (x_{max}) = 1 $

Mengenart

Soll die Partikelgrößenverteilung dargestellt werden, so bestimmt man die Mengenanteile, mit denen die jeweiligen Partikelklassen an der dispersen Phase beteiligt sind.

Die nächste Tabelle führt Mengenarten inkl. Index und Bezeichnung auf:

Stetige und diskrete Summenverteilungskurve

Zur graphischen Darstellung mit Hilfe einer Summenverteilungskurve verwendet man ein normiertes Mengenmaß. Die Normierung löst die Abhängigkeit der Mengenanteile von der Gesamtmenge auf. Bei einer Partikelgrößenverteilung wird die vorliegende Partikelgröße auf der Abszisse und das Mengenmaß $ Q_r $ bzw.  $ q_r $ [folgt noch] auf der Ordinate aufgetragen.

1. Stetige Summenverteilungskurve
   
   

   Stetige Summenverteilungskurve
2. Diskrete Summenverteilungskurve
   
   

   Diskrete Summenverteilungskurve

Beispiel - Sieben und Wiegen $ Q_3 $

Maschen eines Siebs