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Mechanische Verfahrenstechnik - Turbulente ausgebildete Kreisrohrströmung

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Mechanische Verfahrenstechnik

Turbulente ausgebildete Kreisrohrströmung

Um eine turbulente Strömung genau beschreiben zu können, zerlegen wir einfach die instationären Geschwindigkeitskomponente in einen zeitlichen Mittelwert und eine Schwankungsgröße.

Formal:

Geschwindigkeitskomponente = Zeitliche Mittelwert + Schwankungsgröße

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ w(r,z,\varphi, t) = \overline{w}(r, z, \varphi) + w' (r, z, \varphi, t) $

In diesem Zusammehang gilt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \overline{w}_r = \frac{1}{T} \cdot \int^T_0 w(r, z, \varphi) dt $

Das bedeutet:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \overline{w}_r' = \overline{w}_z' = \overline{w}_{\varphi}' = 0 $

Effektive und molekulare Schubspannungen

Die mittlere Bewegung wird durch die turbulente Schwankungsbewegung $ w' $ beeinflusst. Infolgedessen erhöht sich scheinbar der Widerstand und eine zusätzliche Schubspannung tritt auf.

Formal erklärt sich dieser Zusammenhang wie folgt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \overline{\tau}_w = \overline{\tau}_l + \overline{\tau}_t \rightarrow $ effektive Schubspannung

Die Bestandteile $ \overline{\tau}_l $ und $ \overline{\tau}_t \rightarrow $ werden wie folgt berechnet:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$ \overline{\tau}_l = - \eta \frac{d\overline{w}_r}{dr} $

$ \overline{\tau}_t = - \rho \cdot w_r' \cdot w_z' $

$ \overline{\tau}_l $ beschreibt die molekulare Schubspannung.

$ \overline{\tau}_t $ erfasst die scheinbare turbulente Schubspannung, wobei $ w_r' \cdot w_z' $ als Turbulenzmodellierung zu verstehen ist.

Wir können nun zwei Fälle unterscheiden.

1. $ r = R \rightarrow $ Es wird die Strömung direkt an der Rohrwand betrachtet. Diese unterliegt der Haftbedingung:

$ \tau_w = \tau_l = - \eta \cdot \frac{d\overline{w}_r}{dr} $
2. $ r < R \rightarrow $ Es wird die Strömung nicht direkt an der Rohrwand betrachtet. Eine Beschreibung erfolgt via Näherung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \overline{\tau}_t >> \overline{\tau}_l \rightarrow \overline{\tau}_t \approx \overline{\tau}_t = - \rho \cdot \overline{w_r' \cdot w_z'} $ sowie $ \tau_t = 0 $

Kennzahlen: $ \overline{\tau}_w $ = effektive Schubspannung, $ \overline{\tau}_l $ = molekulare Schubspannung, $ \overline{\tau}_t $ = scheinbar turbulente Schubspannung, $ w'_r , w'_z $ = Schwankungsgrößen der Geschwindigkeit in r-Richtung und in z-Richtung.

Maximale und mittlere Geschwindigkeit

Nun wird es experimentell und unter Umständen auch ein Wenig kompliziert für dich. In Klausuren wirst du diese kausalen Gleichungen vermutlich nicht benötigen, aber der Vollständigkeit halber:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \overline{w}_r = \overline{w}_max \cdot ( 1 - \frac{r}{R})^{\frac{1}{m}} $ mit

$ m = \left. \begin{array}{c} 7 \text{für Re} \ge 3 \cdot 10^{-6} \\ \text{m(Re) für Re} > 3 \cdot 10^{-6} \end{array} \right $

wobei $ \overline{w}_{max} $ der maximalen Geschwindigkeit entspricht.

Mit Hilfe der maximalen Geschwindigkeit können wir auch die mittlere Geschwindigkeit bestimmen für die gilt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \overline{w}_m = \frac{\overline{w}_{max}}{ 0,5 \cdot (\frac{1}{m} + 1 ) \cdot (\frac{1}{m} + 2} $

Abschließend können wir mit Hilfe der mittleren Geschwindigkeit den Volumenstrom bestimmen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \dot{V} = \overline{w}_m \cdot \pi \cdot R^2 $

Kennzahlen: $ \overline{w}_r $ = Schwankungsgröße der Geschwindigkeit in r-Richtung, $\overline{w}_{max} $ = Maximale Geschwindigkeit, $\overline{w}_m $ = mittlere Geschwindigkeit, $ \dot{V} = $ Volumenstrom, $ R $ = Radius des Rohrs, $ m $ = Exponent.

Druck und Druckabweichung

Jetzt betrachten wir noch die physikalische Größe Druck, bzw. die Druckabweichung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \Delta \overline{p} = \frac{\overline{\tau}_w \cdot 2 \cdot l}{R} = \frac{\rho \overline{w}_m^2}{2} \cdot \frac{l}{D} \cdot \frac{4 \cdot \overline{\tau}_m}{\rho \cdot \frac{\overline{w}_m^2}{2}} $

Den letzten Faktor der obigen Gleichung hast du vermutlich schon als dimensionslose Widerstandszahl identifiziert. Deshalb formulieren wir unseren Gleichung um zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ \Delta \overline{p} = \frac{\rho \overline{w}_m^2}{2} \cdot \frac{l}{D} \cdot \lambda (Re) $

Kennzahlen: $ D $ = Rohrdurchmesser, $ l $ = Länge des Rohrstücks, $ \rho $ = Dichte des Fluids, $ \lambda $ = dimensionslose Widerstandszahl.

Fehlt an dieser Stelle nur noch eine Gleichung um $ \alpha_t (Re) $ einfach beschreiben zu können. Uns stehen sogar zwei Gleichungen zur Verfügung:

1. Ansatz nach Blasius mit $ \lambda_t (Re) = \frac{0,3164}{Re^{0,25}} $

2. Universelle Widerstandsgesetz des glatten Rohres mit $ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = 2,035 \cdot \log_{10} (Re \cdot \sqrt{\lambda}) -0,91 $