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Physik - Zusammengesetzte gradlinige Bewegung

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Physik

Zusammengesetzte gradlinige Bewegung

Häufig ist der Fall gegeben, dass sich eine Bewegung aus einer gleichförmigen und einer gleichförmig beschleunigten Bewegung zusammensetzt. Um sich diesen Fall besser vorstellen zu können, betrachten wir ein parkendes Auto. Wir wollen mit unserem Auto in die Stadt fahren. Der Weg zur Stadt sei gradlinige und der gesamte Weg habe eine Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h. Wir müssen unser Auto also zunächst auf die 50 km/h beschleunigen, um dann mit der konstanten Geschwindigkeit von 50 km/h fahren zu können. Wir betrachten also im ersten Fall eine gleichförmig beschleunigte Bewegung und im zweiten Fall eine gleichförmige Bewegung.

Bei der gleichförmig beschleunigten Bewegung ist die Beschleunigung konstant und die Geschwindigkeit nimmt mit der Zeit zu. Sobald wir unsere maximale Geschwindigkeit erreicht haben und mit dieser weiter fahren, betrachten wir eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit. 

Formeln für die gleichförmige Bewegung:

$v = const$

$x = v \cdot t$

Hierbei ist $x$ der Weg, der während der gleichförmigen Bewegung zurückgelegt wird und $t$ die Dauer der gleichförmigen Bewegung.

Formeln für die gleichförmig beschleunigte Bewegung:

$a  = const$

$v = a \cdot t + v_0$                    

$x = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t$

Hierbei ist $x$ der Weg, der während der gleichförmig beschleunigten Bewegung zurückgelegt wird und $t$ die Dauer der gleichförmig beschleunigten Bewegung.

Anwendungsbeispiel: Gleichförmige und gleichförmig beschleunigte Bewegung

Beispiel

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Wir betrachten in dieser Aufgabe einen Läufer, der eine Strecke von $x = 400 m$ innerhalb von $t = 19 s$ zurücklegt. Auf der Strecke $x_1 = 75 m$ beschleunigt der Läufer gleichmäßig und legt die restliche Strecke von $x_2 = 325 m$ mit der konstanten Geschwindigkeit von $v_{max}$ zurück.

Unsere Aufgabe besteht darin, zum einen die Beschleunigung $a$ und zum anderen die Geschwindigkeit $v_{max}$ zu bestimmen. 

Aus der Aufgabenstellung erhalten wir folgende Informationen:

- Gleichförmig beschleunigte Bewegung $\Rightarrow \; a = konst.$      ($x_1 = 75 m$)

- Gleichförmige Bewegung $\Rightarrow \; v_{max}  = konst.$     ($x_2 = 325 m$)

Auf den ersten 75m läuft der Läufer mit konstanter Beschleungigung. Danach mit konstanter Geschwindigkeit. Wir haben hier also zwei Bewegungen gegeben. Ingesamt läuft der Läufer $t = 19s$. Wir teilen die Zeit in $t_1$ für die ersten 75m und $t_2$ für die restlichen 325m auf. Es ergibt sich also $t = t_1 + t_2$. Wir beginnen mit der gleichförmig beschleunigten Bewegung.

Gleichförmig beschleunigte Bewegung 

$a = konst.$ auf den ersten $75 m$

Wir wissen, dass die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit $v$ nach der Zeit $t_1$ ist:

$a = \frac{dv_1}{dt_1} \; \leftrightarrow \; dv_1 = a dt_1 \; \leftrightarrow \; \int_0^{v_1} dv_1 = a \int_0^{t_1} dt_1$

Merke

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$v_1 = a t_1$     (1)    

$x_1 = \frac{1}{2} a \cdot t_1^2$   (2)

 $\Rightarrow$ Für die Strecke von $x_1 = 75 m$ und die Zeit $t_1$ gelten diese Gleichungen.

Die obigen Gleichungen gelten für die ersten 75 m. Wollen wir nun die maximale Geschwindigkeit $v_{max}$ bestimmen, mit welcher der Läufer nach 75m weiterläuft, so müssen wir für die obige Weggleichung $x_1 = 75m$ einsetzen. Am Ende dieser 75m läuft der Läufer mit der dort erreichten Geschwindigkeit weiter.


Bestimmung der maximalen Geschwindigkeit nach der Strecke von $x_1 = 75 m$:

Hierzu lösen wir (2) nach $a$ auf und setzen das Ganze in (1) ein.

$75 m = \frac{1}{2} a t_1^2$     |$\cdot 2$

$150 m = a t_1^2$     |$: t_1^2$

$a = \frac{150 m}{t_1^2}$


Einsetzen in (1):

$v_{max} = \frac{150 m}{t_1^2} t_1$     |Kürzen

Methode

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$v_{max} = \frac{150 m}{t_1}$     $\Rightarrow$ Dies ist die maximale Geschwindigkeit des Läufers nach $75 m$.

Die maximale Geschwindigkeit entspricht also der Geschwindigkeit am Ende der gleichförmig beschleunigten Bewegung. Die Zeit $t_1$ für die ersten 75m ist noch nicht bekannt.


Gleichförmige Bewegung

Wir betrachten als nächstes die zweite Bewegung.. Hier läuft der Läufer mit der maximalen Geschwindigkeit $v_{max}$ weiter, die er nach den 75m erreicht hat. 

$x_2 = 325 m \Rightarrow$ mit der konst. Geschwindigkeit $v_{max}$

$v_2 = const $

$x_2 = v_2 \cdot t_2$


Für die Geschwindigkeit $v_2$ wird nun die maximale Geschwindigkeit in die Weggleichung eingesetzt:

$v_2 = v_{max} = \frac{150 m}{t_1}$

Methode

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$x_2 = \frac{150 m}{t_1} \cdot t_2$

$\Rightarrow $ Diese Gleichung gilt für die restlichen $x_2 = 325m$ die in der Zeit $t_2$ zurückgelegt werden.

Da wir weder $t_1$ noch $t_2$ kennen, sondern nur die Gesamtzeit $t$, können wir in die obige Gleichung den folgenden Zusammenhang einsetzen:

$t = t_1 + t_2 \; rightarrow \;  t_1 = 19s - t_2$

$x_2 = \frac{150 m}{19s - t_2} \cdot t_2$            

Einsetzen von $x_2 = 325m$ und auflösen nach $t_2$:

$t_2 = 13s$

Wir können als nächstes die Zeit $t_1$ bestimmen:

$t_1 = 19s - t_2 = 19s - 13s = 6s$.

Bestimmen der maximalen Geschwindigkeit $v_{max}$:

$v_{max} = \frac{150 m}{t_1}$     |Einsetzen von $t_1 = 6 s$

$v_{max} = \frac{150 m}{6 s}$

$v_{max} = 25 \frac{m}{s}$

Auf den ersten $75 m$ der Strecke beschleunigt der Läufer bis zur maximalen Geschwindigkeit von $v_{max} = 25 \frac{m}{s}$. Die restliche Strecke legt er dann mit der dieser Geschwindigkeit zurück.

Bestimmen der Beschleunigung $a$:

Hierzu müssen wir Gleichung (1) nach $a$ umformen und setzen dann die Werte ein.

$v= a t_1$     |$:t_1$

$a = \frac{v_{max}}{t_1}$

$a = \frac{25 \frac{m}{s}}{6 s}$

$a = 4,17 \frac{m}{s^2}$

Die Beschleunigung des Läufers auf den ersten $75 m$, beträgt konstant $a = 4,17 \frac{m}{s^2}$ für die ersten $6 s$, danach fällt sie auf Null ab, da sich der Läufer nach der Zeit $t = 6 s$ mit der konstanten Geschwindigkeit $v_{max} = 25 \frac{m}{s}$ fortbewegt.

Kinematische Diagramme

Die obigen Ergebnisse können in den kinematischen Diagrammen zusammengefasst werden: 

a-t-Diagramm:

Das obige $a-t$-Diagramm zeigt die ersten 6s eine konstante Beschleunigung an. Nach diesen 6s rennt der Läufer mit konstanter Geschwindigkeit weiter, d.h. die Beschleunigung ist dann Null.

v-t-Diagramm:

Aufgrund der konstanten Beschleunigung in den ersten 6s erfolgt eine lineare Geschwindigkeitszunahme. Danach läuft der Läufer mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

x-t-Diagramm:

Aufgrund der linearen Geschwindigkeitszunahme in den ersten 6s, ergibt sich eine parabelförmige Wegzunahme. Nach den 6s nimmt der Weg dann linear zu, weil die Geschwindigkeit konstant ist.