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Traveling-Salesman-Problem

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Das Traveling-Salesman-Problem (auch: Rundreiseproblem) TSP gehört zu den kombinatorischen Optimierungsproblemen. Es handelt sich hierbei um ein Rundreiseproblem, bei welchem mehrere Orte unter Minimierung der Reisezeit oder der Kosten nacheinander angesteuert werden sollen. Dabei darf ein Ort nur einmal besucht werden. Die Reihenfolge ist dabei nicht von Bedeutung. 

Für die Lösung des Traveling-Salesman-Problem stehen eine Vielzahl an heuristischen und exakten Methoden zur Verfügung. Bevor mit dem Verfahren begonnen werden kann, muss dieses durch ein einfaches Modell abgebildet werden. Dies geschieht mithife eines Graphen.  

BEISPIEL GRAPH

In der obigen Grafik ist ein solcher Graph abgebildet. Die Knoten $i = 1, 2, 3, 4$ repräsentieren die Städte, die besucht werden sollen. Die ungerichteten Kanten $(i,j)$ zeigen die Verbindung zwischen den Städten an. Zu jeder Kante existieren Kosten oder Zeiten $c_{ij}$, welche bei Verwendung dieser Strecke anfallen. Diese Kosten bzw. Zeiten gilt es zu minimieren. Dabei darf jeder Knoten nur einmal angesteuert werden (Hamiltonkreis).

Zur Vereinfachung des Problems wird der Graph so aufgestellt, dass er vollständig ist. Das bedeutet, dass zwischen zwei Knoten immer eine Kante existiert. Dies wird erreicht, indem dort wo keine Kante (also keine Verbindung) existiert eine Kante mit der Kantenbewertung $c_{ij} = \infty$ eingeführt wird. Aufgrund der hohen Länge und dem Ziel der Minimierung, wird eine solche Kante nie in die kürzeste Tour aufgenommen. 

Asymmetrisches und symmetrisches TSP

Beim allgemeinen asymmetrischen TSP können die Kanten in Hin- und Rückrichtung unterschiedliche Längen haben, so dass dieses Problem mit Hilfe eines gerichteten Graphen modelliert werden muss. Es reicht also nicht, bloß von der Verbindung zwischen zwei Knoten und ihrer Länge zu sprechen; zusätzlich muss noch die Richtung angegeben werden.

Beim symmetrischen TSP dagegen sind für alle Knotenpaare $(i,j)$ die Kantenlängen in beide Richtungen identisch, d. h. es gilt $c_{ij} = c_{ji}$. Als Konsequenz davon hat jede Tour in beide Richtungen dieselbe Länge. Die Symmetrie halbiert also die Anzahl der möglichen Touren. Ein symmetrisches TSP wird üblicherweise mit Hilfe eines ungerichteten Graphen dargestellt.

Ein Problem des Handlungsreisenden zwischen realen Städten kann asymmetrisch oder symmetrisch sein, je nachdem, ob beispielsweise durch Baustellen oder Einbahnstraßen der Weg in eine Richtung länger dauert als in die andere oder nicht. Ebenso könnte die Reise zu Wasser oder in der Luft unterschiedlichen Strömungen ausgesetzt sein.

In den nächsten Abschnitten werden die folgenden Verfahren zur Lösung eines Traveling-Salesman-Problems aufgezeigt:

  • Vollständige Enumeration

  • Verfahren des besten Nachfolgers

  • Verfahren der sukzessiven Einbeziehung von Stationen

  • Branching-and-Bounding.
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  • Operations Research 2: Überblick
    • Einleitung zu Operations Research 2: Überblick
  • Grundlagen des Operations Research 1
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  • Ganzzahlige Optimierung
    • Einleitung zu Ganzzahlige Optimierung
    • Grafisches Verfahren
    • Verfahren von Gomory
      • Einleitung zu Verfahren von Gomory
      • Beispiel: Verfahren von Gomory
    • Branch-and-Bound-Verfahren
      • Einleitung zu Branch-and-Bound-Verfahren
      • Branch-and-Bound: Maximierungsprobleme
        • Einleitung zu Branch-and-Bound: Maximierungsprobleme
        • Branch-and-Bound am Maximierungsproblem
          • Einleitung zu Branch-and-Bound am Maximierungsproblem
          • Festlegung der oberen/unteren Schranke, Prioritätenfestlegung
          • Entscheidungsbaum für das Maximierungsproblem
          • Beispiel: Branch and Bound am Maximierungsproblem
        • Branch-and-Bound am Maximierungsproblem (optimale Lösung)
          • Einleitung zu Branch-and-Bound am Maximierungsproblem (optimale Lösung)
          • Beispiel: Branch and Bound am Maximierungsproblem (optimale Lösung)
      • Branch-and-Bound: Minimierungsprobleme
        • Einleitung zu Branch-and-Bound: Minimierungsprobleme
        • Branch-and-Bound am Minimierungsproblem
          • Einleitung zu Branch-and-Bound am Minimierungsproblem
          • Festlegung der unteren/oberen Schranke, Prioritätenfestlegung
          • Entscheidungsbaum für das Minimierungsproblem
          • Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem
        • Branch-and-Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung)
          • Einleitung zu Branch-and-Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung)
          • Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung) 1
          • Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung) 2
          • Beispiel: Branch and Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung) 3
      • Branch-and-Bound: Knapsack-Problem
      • Branch-and-Bound: Knapsack-Problem (Alternative)
    • Verfahren der vorsichtigen Annäherung
  • Kombinatorische Optimierung
    • Einleitung zu Kombinatorische Optimierung
    • Traveling-Salesman-Problem
      • Einleitung zu Traveling-Salesman-Problem
      • Vollständige Enumeration
        • Einleitung zu Vollständige Enumeration
        • Beispiel: Vollständige Enumeration (Reduktion der Matrix)
        • Beispiel: Vollständige Enumeration (Anwendung des Verfahrens)
      • Heuristische Verfahren
        • Einleitung zu Heuristische Verfahren
        • Verfahren des besten Nachfolgers
          • Einleitung zu Verfahren des besten Nachfolgers
          • Verfahren des besten Nachfolgers (Ausgangsmatrix)
          • Verfahren des besten Nachfolgers (reduzierte Matrix)
        • Verfahren der sukzessiven Einbeziehung von Stationen
          • Einleitung zu Verfahren der sukzessiven Einbeziehung von Stationen
          • Einbeziehung von Stationen (Ausgangsmatrix)
      • Entscheidungsbaumverfahren
        • Einleitung zu Entscheidungsbaumverfahren
        • Begrenzte Enumeration
        • Branch-and-Bound Verfahren am Traveling-Salesman-Problem
          • Einleitung zu Branch-and-Bound Verfahren am Traveling-Salesman-Problem
          • Branch-and-Bound (TSP): 1. Iteration
          • Branch-and-Bound (TSP): Weitere Iterationen
    • Fertigungsablaufplanung
      • Einleitung zu Fertigungsablaufplanung
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        • Einleitung zu Konkave und konvexe Funktionen
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