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Operations Research - Einführung: Graphentheorie

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Operations Research

Einführung: Graphentheorie

Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Graphentheorie. Ein Graph besteht aus $n$ verschiedenen Knoten, welche ganz oder teilweise miteinander verbunden sind. Die Graphentheorie findet Anwendung z.B. bei der Planung von Verkehrsnetzen, Kommunikationsnetzen oder auch Versorgungsnetzen.

Grundbegriffe der Graphentheorie

Ein Graph $G$ besteht aus einer nichtleeren Knotenmenge $V$ und einer Pfeil- oder Kantenmenge $E$. Jedem Element aus $E$ ist genau ein Knotenpaar $[i,j]$ aus $V$ zugeordnet.

Es handelt sich um einen ungerichteten Graphen, wenn die Elemente $E$ nicht geordnet sind. Die Elemente $E$ werden dann als Kanten bezeichnet. Ein gerichteter Graph hingegen liegt vor, wenn die Elemente $E$ geordnet sind. Die Elemente $E$ werden dann als Pfeile bezeichnet.

Ungerichteter und gerichteter Graph

Der Unterschied zwischen einem ungerichteten Graphen und einem gerichteten Graphen ist die Kanten-bzw. Pfeilmenge $E$. Die Knotenmenge $V = \{1,2,3,4 \}$ ist für die beiden Graphen gleich. Die Kantenmenge für den ungerichteten Graphen ist $E = \{[1,2], [1,3], [2,3], [2,4]\}$. Die Pfeilmenge für den gerichteten Graphen ist $E = \{ [1,2], [1,3], [2,3], [3,2], [2,4] \}$.

Ein Pfeil bzw. eine Kante mit gleichem Anfangs- und Endknoten heißt Schlinge.

Graphentheorie Schlinge


Besitzen zwei Pfeile bzw. Kanten den gleichen Anfangs-und Endknoten so nennt man diese parallel.

Graphentheorie parallele Pfeile und Kanten


Ein schlichter Graph ist ein Graph ohne Schlinge und ohne parallele Pfeile bzw. Kanten.

Graphentheorie schlichter Graph


Ein Diagraph ist ein schlichter gerichteter Graph mit endlicher Knotenmenge.

Graphentheorie Diagraph


In einem ungerichteten Graphen bezeichnet man einen Knoten $j$ als Nachfolger eines Knotens $i$, wenn ein Pfeil $(i,j)$ existiert. Dabei wird die Menge aller Nachfolger eines Knotens $i$ mit $N(i)$ bezeichnet. In einem gerichteten Graphen heißt ein Knoten $j$ Nachbar von Knoten $i$, wenn eine Kante $[i,j]$ existiert. Dabei wird die Menge aller Nachbarn eines Knotens $i$ mit $NB(i)$ bezeichnet.

In einem gerichteten Graphen wird ein Knoten $i$ ohne Vorgänger Quelle genannt und ein Knoten $i$ ohne Nachfolger Senke.

Graphentheorie Quelle und Senke


In den folgenden Abschnitten werden Verfahren zur Bestimmung kürzester Wege im Graphen aufgezeigt sowie Verfahren zur Bestimmung minimaler Spannbäume und minimaler 1-Bäume.