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Einführung: Graphentheorie

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Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Graphentheorie. Ein Graph besteht aus $n$ verschiedenen Knoten, welche ganz oder teilweise miteinander verbunden sind. Die Graphentheorie findet Anwendung z.B. bei der Planung von Verkehrsnetzen, Kommunikationsnetzen oder auch Versorgungsnetzen.

Grundbegriffe der Graphentheorie

Ein Graph $G$ besteht aus einer nichtleeren Knotenmenge $V$ und einer Pfeil- oder Kantenmenge $E$. Jedem Element aus $E$ ist genau ein Knotenpaar $[i,j]$ aus $V$ zugeordnet.

Es handelt sich um einen ungerichteten Graphen, wenn die Elemente $E$ nicht geordnet sind. Die Elemente $E$ werden dann als Kanten bezeichnet. Ein gerichteter Graph hingegen liegt vor, wenn die Elemente $E$ geordnet sind. Die Elemente $E$ werden dann als Pfeile bezeichnet.

Ungerichteter und gerichteter Graph

Der Unterschied zwischen einem ungerichteten Graphen und einem gerichteten Graphen ist die Kanten-bzw. Pfeilmenge $E$. Die Knotenmenge $V = \{1,2,3,4 \}$ ist für die beiden Graphen gleich. Die Kantenmenge für den ungerichteten Graphen ist $E = \{[1,2], [1,3], [2,3], [2,4]\}$. Die Pfeilmenge für den gerichteten Graphen ist $E = \{ [1,2], [1,3], [2,3], [3,2], [2,4] \}$.

Ein Pfeil bzw. eine Kante mit gleichem Anfangs- und Endknoten heißt Schlinge.

Graphentheorie Schlinge


Besitzen zwei Pfeile bzw. Kanten den gleichen Anfangs-und Endknoten so nennt man diese parallel.

Graphentheorie parallele Pfeile und Kanten


Ein schlichter Graph ist ein Graph ohne Schlinge und ohne parallele Pfeile bzw. Kanten.

Graphentheorie schlichter Graph


Ein Diagraph ist ein schlichter gerichteter Graph mit endlicher Knotenmenge.

Graphentheorie Diagraph


In einem ungerichteten Graphen bezeichnet man einen Knoten $j$ als Nachfolger eines Knotens $i$, wenn ein Pfeil $(i,j)$ existiert. Dabei wird die Menge aller Nachfolger eines Knotens $i$ mit $N(i)$ bezeichnet. In einem gerichteten Graphen heißt ein Knoten $j$ Nachbar von Knoten $i$, wenn eine Kante $[i,j]$ existiert. Dabei wird die Menge aller Nachbarn eines Knotens $i$ mit $NB(i)$ bezeichnet.

In einem gerichteten Graphen wird ein Knoten $i$ ohne Vorgänger Quelle genannt und ein Knoten $i$ ohne Nachfolger Senke.

Graphentheorie Quelle und Senke


In den folgenden Abschnitten werden Verfahren zur Bestimmung kürzester Wege im Graphen aufgezeigt sowie Verfahren zur Bestimmung minimaler Spannbäume und minimaler 1-Bäume.

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Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

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  • Kurs: Operations Research 1 - Lineare Optimierung, Graphentheorie und Netzplantechnik
    • Einleitung zu Kurs: Operations Research 1 - Lineare Optimierung, Graphentheorie und Netzplantechnik
  • Lineare Programmierung
    • Einleitung zu Lineare Programmierung
    • Definition: Lineares Programm
    • Standardform: Maximierungsproblem
      • Einleitung zu Standardform: Maximierungsproblem
      • Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
        • Einleitung zu Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
        • Beispiel: Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
      • Umformung in die Standardform (Maximierungsproblem)
      • Umformung in die Normalform (Maximierungsproblem)
      • Simlpex-Algorithmus: Einführung
        • Einleitung zu Simlpex-Algorithmus: Einführung
        • Primales Simlpexverfahren
          • Einleitung zu Primales Simlpexverfahren
          • Primales Simplexverfahren: Anfangstableau aufstellen
          • Primales Simplexverfahren: Pivotspalte/-zeile/-element
          • Primales Simplexverfahren: 1. Simplexschritt
          • Primales Simplexverfahren: Weitere Simplexschritte (optimale Lösung)
          • Beispiel: Maximierungsproblem / grafische Lösung
          • Beispiel: Maximierungsproblem / Primales Simplexverfahren
        • Duales Simplexverfahren
          • Einleitung zu Duales Simplexverfahren
          • Duales Simplexverfahren: Pivotzeile/-spalte/-element
          • Duales Simplexverfahren: Simplexschritte
        • Die Big-M-Methode des primalen Simplexverfahrens
          • Einleitung zu Die Big-M-Methode des primalen Simplexverfahrens
          • Die Big-M-Methode: Einfügen von künstlichen Variablen
          • Die Big-M-Methode: Künstliche Variablen als Basisvariablen
          • Big-M-Methode: Simplexschritt durchführen
          • Big-M-Methode: Weiterer Simplexschritt (zulässige Lösung)
          • Big-M-Methode: Weitere Simplexschritte (optimale Lösung)
      • Kanonische Form, Standardform, Normalform
      • Zusammenfassung: Maximierungsproblem
    • Minimierungsproblem
      • Einleitung zu Minimierungsproblem
      • Dualität - Primalproblem als Maximierungsproblem
      • Dualität - Primalproblem als Minimierungsproblem
      • Dualität - Dualproblem in Primalproblem
      • Beispiel: Primalproblem als Minimierungsproblem
      • Minimierungsproblem- Big-M/dualer Simplex
      • Zusammenfassung: Minimierungsproblem
    • Sonderfälle bei Optimierungsmodellen
      • Einleitung zu Sonderfälle bei Optimierungsmodellen
      • Beispiel: Minimierungsproblem ohne optimal Lösung
    • Sensitivitätsanalyse
      • Einleitung zu Sensitivitätsanalyse
      • Änderung der Zielfunktionskoeffizienten
        • Einleitung zu Änderung der Zielfunktionskoeffizienten
        • Beispiel: Sensitivitätsanalyse Zielfunktionskoeffizienten
      • Änderung der Restriktionen
    • Obere und untere Schranken bei Variablen
      • Untere Schranken
      • Obere Schranken
        • Einleitung zu Obere Schranken
        • Beispiel: Primaler Simplexalgorithmus
        • Beispiel: Vielzahl an beschränkten Variablen
    • Revidierter Simplex-Algorithmus
      • Einleitung zu Revidierter Simplex-Algorithmus
      • Beispiel: Revidierter Simplex-Algorithmus
  • Transport- und Zuordnungsprobleme
    • Das klassische Transportproblem
      • Einleitung zu Das klassische Transportproblem
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