Beschleunigungsarbeit

Wir betrachten in diesem Abschnitt die Beschleunigungsarbeit.

Jetski während der Beschleunigung

Zur Bewegung eines Körpers muss eine Kraft aufgewendet werden. Diese Krafteinwirkung führt zu einer Beschleunigung und damit zu einer Bewegungsänderung. Der Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung ist durch das Aktionsgesetz gegeben:

$F = ma$

Es muss also eine Kraft entgegen der Trägheit des Körpers aufgewendet werden, um eine Beschleunigung und damit eine Bewegungsänderung herbeizuführen. 

Setzen wir dies nun in die Formel für die Arbeit ein, so erhalten wir:

Betrachten wir ein stehendes Auto. Wir schieben dieses Auto nun mittels Muskelkraft an. Das Auto beschleunigt und dies führt zu einer Bewegungsänderung. Die Kraft wirkt also entlang der gesamten Beschleunigungsstrecke. 

Ist die Strecke $s$ nicht bekannt, so kann diese mittels der Gleichungen aus dem Abschnitt gleichförmig beschleunigte Bewegung (konstante Beschleunigung) beschrieben werden. Es gilt:

$\frac{d^2x}{dt^2} = a$

Wir erhalten nach zweimaliger Integration:

$x - x_0 = \frac{1}{2} a \cdot (t - t_0)^2 + v_0 \cdot (t - t_0)$

Wir beginnen mit der Zeitmessung bei $t_0 = 0$. Die Wegdifferenz $x - x_0 = s$ ist die Strecke, die während der Beschleunigung zurückgelegt wird. Die Anfangsgeschwindigkeit ist dabei unerheblich, weil nur die Beschleunigung bei Bestimmung der Beschleunigungsarbeit gesucht wird, also $v_0 = 0$.

Einsetzen in die Gleichung für die Arbeit ergibt:

$W = m \cdot a \cdot \frac{1}{2} a \cdot t^2 $

Zusammenfassen führt dann auf die Beschleunigunsarbeit in der folgenden Form:

Ist die Geschwindgikeit gegeben, so kann die Beschleunigungsarbeit wie folgt ausgedrück werden:

$\frac{dv}{dt} = a$

$\int dv = \int a dt$

$v - v_0 = a \cdot t$

mit $v_0 = 0$:

$v  = a \cdot t$

Auflösen nach $a$:

$a = \frac{v}{t}$

Einsetzen:  

$W = m \cdot \frac{v^2}{t^2}\cdot \frac{1}{2} \cdot t^2 $     

Kürzen:

Diese letzte Formel zur Berechnung der Beschleunigungsarbeit zeigt auf der rechten Seite die kinetische Energie an, welche in einem späteren Abschnitt ausführlich beschrieben wird. 

Anwendungsbeispiel: Saturn V-Mondrakete

Saturn V Rakete

Im Vorfeld müssen wir einige Berechnungen durchführen, ohne die wir später nicht die Beschleunigungsarbeit zu den jeweiligen Phasen bestimmen können. 

1. Bestimmen der Gewichtskraft bei dem Start und nach der Zeit $t_1 = 161  s$.

Die Gewichtskraft ist die Kraft, die entgegen der Beschleunigungsrichtung der Saturn V wirkt, d. h. die in Richtung der Erdoberfläche wirkt. Dazu müssen wir zum einen die Gesamtmasse der Saturn V vor dem Start ermitteln sowie die Gesamtmasse nach dem Ausbrennen der 1. Stufe nach $t_1 = 161  s$.

Gesamtmasse bei Start:

Hier muss die Masse der gesamten Rakete betrachtet werden. Die Masse der 1. - 3. Stufe.

$m_{Start}= m_1 + m_2 + m_3$

$m_{Start} = 2.286.217  kg + 490.778  kg + 119.900  kg$

$m_{Start} = 2.895.995  kg$

Gesamtmasse nach $t_1 = 161  s$:

Von der Startmasse müssen wir an dieser Stelle die Masse des Treibstoffs der 1. Stufe vollständig abziehen, da dieser ja bis zum Zeitpunkt $t_1 = 161  s$ vollständig verbraucht worden ist.

$m_{161  s} = m_{Start}  -  m_{Treibstoff}$     |$m_{Treibstoff} = m_1  -  m_{1-leer}$

$m_{161  s} = 2.895.995  kg  -  (2.286.217  kg  -  135.218  kg)$

$m_{161  s} = 2.895.995  kg  -  2.150.999  kg$

$m_{161  s} = 744.996  kg$

2. Bestimmen der jeweiligen Gewichtskraft

Gewichtskraft beim Start:

$F_{G-Start} = m_{Start}  \cdot  g$

$F_{G-Start} = 2.895.995  kg  \cdot  9,81 \frac{m}{s^2}$

$F_{G-Start} = 28.409.711 \frac{kg  \cdot  m}{s^2}$

Gewichtskraft nach $t = 161  s$:

$F_{G-161  s} = m_{161  s}  \cdot  g$

$F_{G-161  s} = 744.996  kg  \cdot  9,81 \frac{m}{s^2}$

$F_{G-161  s} = 7.308.411 \frac{kg  \cdot  m}{s^2}$

3. Bestimmung des Gesamtschubs der 1. Stufe

$F_{gesamtschub} = Anzahl  Triebwerke  \cdot  F_{Schub}$

$F_{gesamtschub} = 5  \cdot  6.733  kN$

$F_{gesamtschub} = 33.665  kN  \hat{=}  33.665.000 \frac{kg  \cdot  m}{s^2}$

4. Bestimmung der Beschleunigung $a$ beim Start und nach $t_1 = 161  s$

Damit wir die Beschleunigung für die jeweilige Phase, in der sich die Saturn V befindet, bestimmen können, brauchen wir die Schubkraft, die von den Triebwerken in tatsächlichen Vortrieb umgewandelt wird. Wir müssen also von der Gesamtschubkraft die jeweilige Gewichtskraft subtrahieren. Wir betrachten das Newtonsche Grundgesetz:

$F = ma$

Dabei ist $F$ die Summe aller auf die Rakete wirkenden Kräfte. Die Rakete steigt vertikal nach oben. Wir haben die Gesamtschubkraft, die vertikal nach oben gerichtet ist und die Rakete nach oben befördert. Dem entgegen wirkt die gesamte Gewichtskraft, welche vertikal nach unten gerichtet ist. Nehmen wir nun alle Kräfte in Richtung der Bewegung positiv an (also die vertikal nach oben gerichteten Kräfte) und alle entgegen der Bewegung negativ (also alle nach unten gerichteten Kräfte), so erhalten wir

- für den Start:

$F_{gesamtschub} - F_{G-Start} = m_{Start} a_{Start}$

Auflösen nach $a$:

 $a_{Start} = \frac{F_{gesamtschub}  -  F_{G-Start}}{m_{Start}}$

 $a_{Start} = \frac{33.665.000 \frac{kg  \cdot  m}{s^2}  -  28.409.711 \frac{kg  \cdot  m}{s^2}}{2.895.995  kg}$   |Einheiten kürzen

 $a_{Start} = \frac{33.665.000 \frac{m}{s^2}  -  28.409.711 \frac{m}{s^2}}{2.895.995}$

 $a_{Start} = 1,815 \frac{m}{s^2}$

- für den Zeitpunkt $t_1 = 161  s$:

Aufgrund des Treibstoffverbrauchs während der 1. Stufe, nimmt die Masse der Saturn V Rakete ab. Das führt zu einer Beschleunigung der Rakete, obwohl der Gesamtschub konstant bleibt, und zwar so lange, bis die 1. Stufe ausgebrannt ist. Wir müssen nun also die Gewichtskraft betrachten nachdem die 1. Stufe ausgebrannt ist (ohne den Treibstoff der 1. Stufe):

$F_{gesamtschub} - F_{G-161  s} = m_{161  s} \cdot a_{161  s}$

Auflösen nach $a$:

 $a_{161  s} = \frac{F_{gesamtschub}  -  F_{G-161  s}}{m_{161  s}}$

 $a_{161  s} = \frac{33.665.000 \frac{kg  \cdot  m}{s^2}  -  7.308.411 \frac{kg  \cdot  m}{s^2}}{744.996  kg}$   |Einheiten kürzen

 $a_{161  s} = \frac{33.665.000 \frac{m}{s^2}  -  7.308.411 \frac{m}{s^2}}{744.996}$

 $a_{161  s} = 35,38 \frac{m}{s^2}$

Berechnung der Beschleunigungsarbeit:

Damit haben wir nun alle Daten, die wir für die Berechnung der Beschleunigungsarbeit zu den jeweiligen Zeitpunkten benötigen. Für den 1. Schritt sind sowohl die Strecke $s = 5  m$ als auch die Beschleunigung $a_{Start} = 1,815 \frac{m}{s^2}$ bekannt, sodass wir aus dem Kurstext die 1. Formel heranziehen können.

$W_{Start} = m_{Start}  \cdot  a_{Start}  \cdot  s$

$W_{Start} = 2.895.995  kg  \cdot  1,815 \frac{m}{s^2}  \cdot  5  m$

$W_{Start} = 26.208.754,75 \frac{kg  \cdot  m}{s^2} m$

$W_{Start}  \approx  26.208.755 Nm  \hat{=}  26.208.755  J$

$W_{Start}  \approx  26.209 kJ$

$\Rightarrow$ Am Start verrichten die Triebwerke der 1. Stufe der Saturn V Mondrakete eine Beschleunigungsarbeit von $W_{Start} = 26.209  kJ$

Für die Berechnung der Beschleunigungsarbeit zu dem Zeitpunkt, an dem die 1. Stufe ausgebrannt ist, also nach $t_1 = 161  s$, liegen uns sowohl die Zeit vor als auch die Beschleunigung $a_{161  s} = 35,38 \frac{m}{s^2}$. Wir müssen also an dieser Stelle die 2. Formel aus dem Kurstext heranziehen.

$W_{161  s} = m_{161  s}  \cdot  a_{161  s}^2  \cdot  \frac{1}{2}  \cdot  t_1^2$

$W_{161  s} = 744.996  kg  \cdot  (35,38 \frac{m}{s^2})^2  \cdot  \frac{1}{2}  \cdot  (161  s)^2$

$W_{161  s} = 1,21  \cdot  10^{13} \frac{kg  \cdot  m}{s^2} m$

$W_{161  s}  \approx  1,21  \cdot  10^{13}  J$

$W_{161  s}  \approx  1,21  \cdot  10^{10}  kJ$

$\Rightarrow$ Zu dem Zeitpunkt, an dem die 1. Stufe ausgebrannt ist und von der restlichen Rakete abgetrennt wird, haben die Triebwerke der 1. Stufe einen Beschleunigungsarbeit von $W_{161  s} = 1,21  \cdot  10^{10}  kJ$ verrichtet.