Kinetische Energie

Ein Körper in Bewegung enthält kinetische Energie (griechisch: kinesis = Bewegung). Sie entspricht der Arbeit, die aufgewendet werden muss, um einen Menschen/Körper aus der Ruhe in Bewegung zu versetzen und zu halten.

Radfahrer enthalten kinetische Energie

Die kinetische Energie ist nur abhängig von dem Betrag der Geschwindigkeit, nicht aber von der Richtung. Das wiederum bedeutet, dass eine Änderung der kinetischen Energie nur dann auftritt, wenn der betrachtete Körper seine Schnelligkeit ändert, nicht aber, wenn sich nur die Bewegungsrichtung des Körpers ändert.

Wir betrachten dazu die gleichförmige Kreisbewegung aus dem Abschnitt Zentripetalbeschleunigung. Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist die Geschwindigkeit konstant, obwohl es sich um eine beschleunigte Bewegung handelt. Grund dafür ist, dass sich bei einer Kreisbewegung ständig die Richtung ändert.

Betrachten wir nun die Zentripetalkraft. Diese steht senkrecht zur Geschwindigkeit, welche tangential gerichtet ist. Damit steht die Zentripetalkraft auch senkrecht zum Weg. Bei der Berechnung der Arbeit dürfen aber nur Kräfte parallel zum Weg berücksichtigt werden. Demnach führt die Kreisbewegung keine Beschleunigungsarbeit aus und damit ist die kinetische Energie konstant und verändert sich nicht.

Das kann man sich auch bei einer Kurvenfahrt mit dem Auto verdeutlichen. Solange sich die Geschwindigkeit nicht ändert, sondern nur die Richtung, handelt es sich zwar um eine beschleunigte Bewegung, aber es wird eben keine Beschleunigungsarbeit verrichtet und damit bleibt die kinetische Energie konstant. Wird die Geschwindigkeit innerhalb der Kurve erhöht oder reduziert, dann erst wird Beschleunigungsarbeit geleistet und damit ändert sich die kinetische Energie. 

Zusammenhang zwischen potentieller und kinetischer Energie

Newton-Pendel

Die potentielle Energie wird auch Lageenergie genannt. Sie ist umso höher, je weiter der Gegenstand vom Erdmittelpunkt entfernt ist (bzw. von einem bestimmten Ausgangspunkt aus gesehen). Die kinetische Energie hingegen ist die Bewegungsenergie. Um den Zusammenhang zwischen den beiden Energieformen deutlich zu machen, wird ein Beispiel betrachtet:

Beispiel

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Angenommen man hält einen Tennisball in seiner Hand. 

Tennisball

Die Hand stellt das Bezugssystem dar mit der Höhe null. Wirft man diesen Ball los, so setzt sich die gesamte Energie unmittelbar nach dem Abwurf aus kinetischer Energie zusammen, wobei die potentielle Energie gleich Null ist ($h = 0=$). Dies gilt aber nur unmittelbar nach dem Abwurf. Die potentielle Energie nimmt zu, je höher der Ball fliegt. Die kinetische Energie hingegen nimmt ab (der Ball wird langsamer). Das bedeutet also eine Umwandlung von kinetische in potentielle Energie. Ist der Ball an seinem höchsten Punkt angekommen, besitzt er nur noch potentielle Energie und keine kinetische Energie mehr (der Ball steht kurz in der Luft, bevor er wieder fällt). An diesem höchsten Punkt ist die potentielle Energie gleich der kinetischen Energie, die der Ball direkt nach dem Wurf hatte und die kinetische Enerige ist null. Fällt der Ball nun wieder nach unten, so nimmt die potentielle Energie ab und die kinetische Energie nimmt wieder zu, bis der Ball wieder in der Hand landet. Hier sind potentielle und kinetische Energie wieder gleich Null.

Kinetische Energie und Reibungsenergie

Die Umwandlung der kinetischen Energie kann ebenfalls in Reibungsenergie erfolgen. Ist ein System reibungsbehaftet (z.B. eine Kiste auf einer rauen Ebene) so muss die Reibungsenergie zusätzlich berücksichtigt werden. Die Reibungsenergie führt dazu, dass die kinetische Energie abnimmt. 

Stellen wir uns eine Kiste auf einer schiefen rauen Ebene vor. Diese Kiste rutscht die raue Ebene hinunter. Aufgrund der Erdanziehung weist sie eine Beschleunigung auf und damit auch eine Geschwindigkeit. Das bedeutet, dass die Kiste kinetische Energie besitzt. Die potentielle Energie der Kiste nimmt mit abnehmender Höhe (hierbei ist die senkrechte Höhe relevant) ab. Potentielle Energie wird in kinetische Energie umgewandelt. Es tritt aber zusätzlich noch Reibung zwischen der Kiste und der rauen Fläche auf. Diese Reibung führt dazu, dass die Kiste abgebremst wird und reduziert somit die Geschwindigkeit der Kiste. Das führt dazu, dass die kinetische Energie sinkt. 

Es gibt verschiedene Arten von Reibungsenergie. Die Gleitreibung (wie oben beschrieben) wird berechnet zu:

Dabei ist $R = \mu \cdot N$ die Reibungskraft und $s$ der Weg, für welchen die Reibung auftritt. $N$ ist die Normalkraft, die senkrecht auf der Berühungsebene des betrachteten Körpers steht.

Ist die Reibungsenergie unabhängig vom Weg, also konstant, so ergibt sich vereinfacht:

Die nachfolgenden zwei Beispiele zeigen die Berechnung der Geschwindigkeit eines Körpers mittels potentieller und kinetischer Energie. Dabei wird im ersten Beispiel die Reibung vernachlässigt und im zweiten Beispiel berücksichtigt. 

Beispiel: Kinetische Energie und potentielle Energie

Beispiel: Wagen auf schiefer glatter Ebene

Schritt 1: Vorüberlegungen

Der Wagen weist die Gewichtskraft $F_G = m_W \cdot g$ auf, welche vertikal nach unten gerichtet ist. Die schiefe Ebene wird durch die Normalkraft $F_N$ ersetzt, welche senkrecht auf der schiefen Ebene steht und sich zu gleichen Teilen auf beide Räder aufteilt (beide Räder im gleichen Abstand zum Schwerpunkt). 

Am Punkt A befindet sich der Wagen in Ruhe, d.h. er weist eine potentielle Energie $E_{pot, A}$ auf. Das System ist reibungsfrei, d.h. die potentielle Energie wird an Punkt B vollständig in kinetische Energie umgewandelt, somit ist die Gesamtenergie konstant.

Der Energieerhaltungssatz ist daher anwendbar.

Schritt 2: Berechnung der Gesamtenergie im Punkt A

Punkt A

$E_{gesamt} = E_{pot, A}  +  E_{kin, A}$

$E_{gesamt} = m_W  \cdot  g  \cdot  h  +  \frac{1}{2}  m_W  \cdot  v^2$     |$E_{kin, A} = 0$, da $v_1 = 0$

$E_{gesamt} = m_W  \cdot  g  \cdot  h$     |Werte einsetzen

$E_{gesamt} = 49  kg  \cdot  9,81  \frac{m}{s^2}  \cdot  4,6  m$

$E_{gesamt} = 2.211,17  \frac{kg  \cdot  m^2}{s^2}$

$E_{gesamt} = 2.211,17  Nm  \hat{=}  2.211,17  J$

Punkt B

$E_{gesamt} = E_{pot, B}  +  E_{kin, B}$     |$E_{pot} = 0$, da $h = 0$

$E_{gesamt} = E_{kin, B}$

Es ist deutlich zu erkennen, dass die potentielle Energie im Punkt A vollständig in kinetische Energie im Punkt B umgewandelt worden ist.

$E_{kin, B} = 2.211,17  J$

$\Rightarrow$ Die kinetische Energie des Wagens im Punkt B beträgt $E_{kin, B} = 2.211,17  J$.

Schritt 3: Bestimmen der Geschwindigkeit des Wagens im Punkt B

Die Formel für die kinetische Energie lautet:

$E_{kin} = \frac{1}{2}  m_W  \cdot  v_2^2$

Wir können diese Formel nach $v$ auflösen und erhalten dann die Geschwindigkeit des Wagens im Punkt B:

$E_{kin} = \frac{1}{2}  m_W  \cdot  v_2^2$     |$\cdot  2$ und $:  m_W$

$v_2^2 = \frac{2  \cdot  E_{kin}}{m_W}$     |$\sqrt{}$

$v_2 = \sqrt{\frac{2  \cdot  E_{kin}}{m_W}}$     |Werte einsetzen

$v_2 = \sqrt{\frac{2  \cdot  2.211,17  \frac{kg  \cdot  m^2}{s^2}}{49  kg}}$     |Einheiten kürzen

$v_2 = \sqrt{\frac{2  \cdot  2.211,17  \frac{m^2}{s^2}}{49}}$

$v_2 = 9,5  \frac{m}{s}$

$\Rightarrow$  Der Wagen hat in Punkt B eine Geschwindigkeit von $v_2 = 9,5  \frac{m}{s}$ erreicht.

Beispiel: Potentielle, kinetische und Reibungsenergie

Beispiel: Wagen auf schiefer rauer Ebene

Schritt 1: Vorüberlegungen

Der Wagen weist die Gewichtskraft $F_G = m_W \cdot g$ auf, welche vertikal nach unten gerichtet ist. Die schiefe Ebene wird durch die Normalkraft $F_N$ ersetzt, welche senkrecht auf der schiefen Ebene steht und sich zu gleichen Teilen auf beide Räder aufteilt (beide Räder im gleichen Abstand zum Schwerpunkt). 

Am Punkt A befindet sich der Wagen in Ruhe, d.h. er weißt eine potentielle Energie $E_{pot, A}$ auf. Das System ist hier nicht reibungsfrei, d.h. wir können hier nicht wie in der Aufgabe zuvor davon ausgehen, dass die potentielle Energie an Punkt B vollständig in kinetische Energie umgewandelt wird.

Schritt 2: Berechnung der kinetischen Energie

Punkt A

Hier gibt es im Vergleich zu der vorherigen Aufgabe keine Änderung, da der Wagen im Punkt A ruht und dort demnach nur potentielle Energie aufweist.:

$E_{gesamt;A} = E_{pot, A}$

$E_{gesamt;A} = m_W  \cdot  g  \cdot  h$     |Werte einsetzen

$E_{gesamt;A} = 49  kg  \cdot  9,81  \frac{m}{s^2}  \cdot  4,6  m$

$E_{gesamt;A} = E_{pot} = 2.211,17  J$

Punkt B

Sobald sich der Wagen in Bewegung setzt und die schiefe Ebene runterrollt wandelt sich potentielle Energie in kinetische Energie um. Ohne Reibung wird die gesamte potentielle Energie in Punkt A in kinetische Energie in Punkt B umgewandelt. Tritt hingegen Reibung auf, so wird die Gesamtenergie gemindert. Wir erhalten also die Gesamtenergie in Punkt B indem wir die Reibungsenergie von der Gesamtenergie in Punkt A abziehen:

$E_{gesamt;B} = E_{gesamt;A} - E_{reib}$ 

$E_{gesamt:B} = E_{gesamt;A}   -  R  \cdot  s$     |Mit $R = F_N  \cdot  \mu$

$E_{gesamt:B} = E_{gesamt;A}   -  F_N  \cdot  \mu  \cdot  s$  

Berechnung der Normalkraft 

Die Normalkraft $F_N$ erhält man aus dem Newtonschen Grundgesetz in y-Richtung:

$F_y = m a_y$

Wir legen hierfür die $x$-Achse in Richtung der Bewegung und die $y$-Achse in Richtung der Normalkraft. Denn dann wird $a_y = 0$, weil keine Bewegung in $y$-Richtung stattfindet. Wir haben dann das Gesetz gegeben zu:

Die beiden Kräfte $\frac{1}{2} F_N$ zeigen in $y$-Richtung. Die Gewichtskraft zeigt weder in $x$- noch in $y$-Richtung, weshalb diese in ihre Komponenten zerlegt werden muss.

Hierfür müssen wir zunächst den Winkel der schiefen Ebene zur Horizontalen kennen. Aus den Abmessungen können wir den Winkel mittels Sinus berechnen:

Berechnung des Winkels

 Das obige rechtwinklige Dreieck wird herangezogen um den Winkel $\alpha$ zu bestimmen. Gegeben sind die Abmessungen der Hypotenuse und der Gegenkathete. Deshalb wird hier zur Berechnung von $\alpha$ der Sinus angewandt:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\sin(\alpha) = \frac{4,6m}{5m}$               |$\cdot \; arcsin$

$\alpha = arcins(\frac{4,6m}{5m})$

$\alpha = 66,93°$  

Nachdem der Winkel bekannt ist kann als nächstes die Gewichtskraft $F_G$ in ihre Komponente in $x$- und $y$-Richtung zerlegt werden:

$G \cos(66,93°) $         negative $y$-Richtung

$G \sin(66,93°) $         positive $x$-Richtung

Wir können nun beginnen die Summe der Kräfte in $y$-Richtung zu berechnen:

$F_y = \frac{1}{2} F_N + \frac{1}{2} F_N - G \cos(66,93°)$

Einsetzen in das Newtonsche Grundgesetz:

$F_N - G \cdot \cos(66,93°) = 0$

Auflösen nach $F_N$:

$F_N = G \cdot \cos(66,93°)$

Einsetzen in die Gleichung der Gesamtenergie:

$E_{gesamt:B} = E_{gesamt;A}   -  G \cdot \cos(66,93°)  \cdot  \mu  \cdot  s$  

Werte einsetzen:

 $E_{gesamt;B} = 2.211,17  J  -  49  kg  \cdot  9,81  \frac{m}{s^2}  \cdot \cos(66,93°) \cdot  0,45  \cdot  5  m$     

$E_{gesamt:B} = 2.211,17  J  -  423,81J$

$E_{gesamt:B}  =1.787,36$

Die Gesamtenergie setzt sich zusammen aus potentieller und kinetischer Energie. Da im Punkt B die potentielle Energie gleich Null ist, da $h =0$, ist die Gesamtenergie gleich der kinetischen Energie:

$E_{gesamt;B} = E_{kin;B} = 1.787,36$

$\Rightarrow$ Die kinetische Energie des Wagens im Punkt B beträgt $E_{kin, B} = 1.787,36  J$, die restliche Energie ist in Form von Reibungsenergie verbraucht worden (in Wärmeenergie umgewandelt).

Schritt 3: Bestimmen der Geschwindigkeit des Wagens im Punkt B

Dies können wir einfach durch Umstellen der Formel für $E_{kin} = \frac{1}{2}  m_W  \cdot  v_2^2$ nach $v_2$ bestimmen.

$E_{kin} = \frac{1}{2}  m_W  \cdot  v_2^2$     |$\cdot  2$ und $:  m_W$

$v_2^2 = \frac{2  \cdot  E_{kin}}{m_W}$     |$\sqrt{}$

$v_2 = \sqrt{\frac{2  \cdot  E_{kin}}{m_W}}$     |Werte einsetzen

$v_2 = \sqrt{\frac{2  \cdot 1.787,36 \frac{kg  \cdot  m^2}{s^2}}{49  kg}}$     |Einheiten kürzen

$v_2 = \sqrt{\frac{2  \cdot  936,65  \frac{m^2}{s^2}}{49}}$

$v_2 = 8,54  \frac{m}{s}$

$\Rightarrow$  Der Wagen hat in Punkt B aufgrund der Reibung eine deutlich geringere Geschwindigkeit von $v_2 = 8,54 \frac{m}{s}$, als in der vorherigen Aufgabe.