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Physik - Einseitiger Hebel

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Physik

Einseitiger Hebel

Inhaltsverzeichnis

Wir betrachten zunächst einen einseitigen Hebel. Mithilfe eines einseitigen Hebels kann man einen Körper anheben. Dabei liegt der Drehpunkt am Rand der Hebelstange. Alle auf den Hebel wirkenden Kräfte liegen also auf der Seite des Hebels:

einseitiger Hebel
Einseitiger Hebel

In der obigen Kraft soll eine Kiste angehoben und dann gedreht werden (nach rechts). Hierzu kann der einseitige Hebel verwendet werden. Bei dem einseitigen Hebel liegt der Drehpunkt am Rand des Hebels. Alle auf den Hebel einwirkenden Kräfte, also die Gewichtskraft der Kiste sowie die Zugkraft zum Anheben der Kiste, liegen auf der Seite des Hebels. Die Zugkraft muss nach oben gerichtet wirken, also entgegen der Gewichtskraft, damit die Kiste angehoben werden kann.

Das dabei resultierende Drehmoment am Drehpunkt wird berechnet zu:

Methode

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$M = F \cdot s$                     Drehmoment

Dabei sei $s$ der Hebelarm, bzw. der senkrechte Abstand der Kraft $F$ zum Drehpunkt.

Merke

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  • Bei einem einseitigen Hebel wirken Last und Kraft auf der gleichen Hebelseite.
  • Die Stelle, um die der Hebel beim Anheben gedreht wird, nennt man Drehpunkt.
  • Die Drehachse verläuft durch den Drehpunkt.

Anwendungsbeispiel: Weinfass

Beispiel

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In einer Winzergenossenschaft im schönen Ahrtal, soll der Helfer des Kellermeisters ein frisch befülltes Fass Rotwein in den Weinkeller rollen. Auf dem Weg dorthin muss er eine Schwelle, die $h = 4,5  cm$ hoch ist, überwinden.

Das Weinfass hat leer eine Gewichtskraft von $F_{leer} = 165  N$ und fasst $V_{Wein} = 46  l$ Rotwein. Der Durchmesser des Weinfasses beträgt $d = 55  cm$. Der Rotwein von der Ahr hat eine Dichte von ungefähr $\rho = 0,992 \frac{kg}{l}$.

a) Der Helfer des Kellermeisters versucht die Schwelle zu überwinden, indem er auf der Hälfte der Fasshöhe eine horizontale Kraft aufbringt. Berechne die hierzu nötige Kraft!

b) Nachdem der Helfer die Aufgabe nicht geschafft hat, zeigt ihm der Kellermeister, wie es richtig geht. Welche Kraft muss er aufbringen?

Zuerst ist Vorarbeit zu leisten. Bevor wir beginnen können, müssen wir die Gewichtskraft $F_{Weinfass}$ des vollen Weinfasses ermitteln.

$m_{Rotwein} = V_{Rotwein} \cdot \rho_{Rotwein}$

$m_{Rotwein} = 46  l \cdot 0,992 \frac{kg}{l} = 45,63  kg$

$F_{Rotwein} = m_{Rotwein} \cdot g$

$F_{Rotwein} = 45,63  kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}$

$F_{Rotwein} = 447,63 \frac{kg  \cdot  m}{s^2} \hat{=}  447,63  N \approx 448  N$

Die Gewichtskraft des vollen Weinfasses ergibt sich somit wie folgt:

$F_{Weinfass} = F_{leer} + F_{Rotwein} = 165  N + 448  N = 613  N$

a) Welche Kraft müsste der Helfer aufbringen, um das Weinfass über die Schwelle zu rollen?

Die wirkenden Kräfte können aus der nachfolgenden Skizze entnommen werden.

Weinfass 1
 

Beide Kräfte greifen im Zentrum des Weinfasses an. $D$ markiert den Drehpunkt, um den das Weinfass gedreht werden muss, um über die Schwelle gerollt zu werden.

Jener Hebel befindet sich im Gleichgewicht, d. h. es bewegt sich nicht, wenn diese Gleichung erfüllt ist:

$F_{Helfer} \cdot s_H = F_{Weinfass} \cdot s_{WF}$     (1)

Wir beginnen nun damit, die Hebelarme $s_H$ und $s_{WF}$ zu bestimmen.

Schritt 1: Bestimmen der Hebelarme

Weinfass 2
 

 

Den Hebelarm $s_H$ können wir einfach aus dem Radius des Weinfasses subtrahiert um die Höhe der Schwelle $h = 4,5  cm$ bestimmen.

$s_H = r_{Weinfass} - h$

$s_H = 27,5  cm - 4,5  cm$

$s_H = 23  cm$

Den Hebelarm $s_{WF}$ können wir nun mit dem Satz des Pythagoras bestimmen, da wir von dem grauen Dreieck in der Skizze nun die Hypotenuse und die Gegenkathete $s_H$ kennen, somit erhalten wir:

$s_{WF} = \sqrt{{r_{Weinfass}^2} - {s_H}^2}$

$s_{WF} = \sqrt{{{27,5  cm}^2} - {23  cm}^2}$

$s_{WF} = 15,07  cm$

Um nun die Kraft zu berechnen, die der Helfer aufbringen müsste, um das Weinfass über die Schwelle zu rollen, müssen wir die Gleichung (1) entsprechend umformen.

$F_{Helfer} \cdot s_H = F_{Weinfass} \cdot s_{WF}$     |$:s_H$

$F_{Helfer} = \frac{F_{Weinfass}  \cdot  s_{WF}}{s_H}$     |Einsetzen der Werte

$F_{Helfer} = \frac{613  N  \cdot  15,07  cm}{23  cm}$     |Einheiten kürzen

$F_{Helfer} = \frac{613  N  \cdot  15,07}{23}$

$F_{Helfer} = 401,65  N$

$\Rightarrow$ Der Helfer müsste eine Kraft von $F_{Helfer} = 401,65  N$ aufbringen, um die Aufgabe bewältigen zu können. Da er heute etwas schwach auf der Brust ist, gelingt es ihm nicht.

b) Nun zeigt der Kellermeister seinem Helferlein, wie er sich in Zukunft die Arbeit erleichtern kann.

Weinfass 3
 

 Der Kellermeister geht so vor, dass der den Angriffpunkt seiner Kraft $F_{Kellermeister}$ so wählt, dass sein Hebelarm maximal ist (s. Skizze). Der maximale Hebelarm ist also der Durchmesser des Fasses!Das Resultat ist, dass die aufzubringende Kraft deutlich niedriger ausfällt, als die des Helfers.

 Wir können für die Berechnung wieder die Gleichung (1) heranziehen, müssen allerdings die Variablen austauschen.

$F_{Kellermeister} \cdot s_K = F_{Weinfass} \cdot s_{WF}$     |$:s_K$

$F_{Kellermeister} = \frac{F_{Weinfass}  \cdot  s_{WF}}{s_K}$     |Einsetzen der Werte

$F_{Kellermeister} = \frac{613  N  \cdot  15,07  cm}{55  cm}$     |Einheiten kürzen

$F_{Kellermeister} = \frac{613  N  \cdot  15,07}{55}$

$F_{Helfer} = 167,96  N$

$\Rightarrow$ Dank des deutlich größeren Hebelarms gelingt es dem Kellermeister, das volle Weinfass mit Leichtigkeit über die Schwelle zu rollen.