Impulserhaltung

Nachdem nun die beiden Größen Kraftstoß und Impuls eingeführt worden sind, wird als Nächstes der Impulserhaltungssatz betrachtet:

Um zu zeigen, was genau das bedeutet, wird als Nächstes der Stoß von zwei Körpern betrachtet.

Stoß zweier Körper

Stoßen zwei Körper zusammen, so ist während des Stoßes aufgrund des Wechselwirkungsgesetzes Kraft gleich Gegenkraft. Betrachten wir dazu einen Crashtest, bei dem ein Fahrzeug 1 kontrolliert mit einem anderen Fahrzeug 2 zusammenstößt.

Crashtest

Das Fahrzeug 1 wirkt mit einer Kraft $F_1$ auf das andere Fahrzeug 2, welches mit einer Kraft $F_2$ auf Fahrzeug 1 wirkt. Nach dem Wechselwirkungsprinzip ist Kraft = Gegenkraft. Während der Stroßdauer gilt also: 

$F_1 = F_2$    

Da die Dauer $\triangle t$ der Wechselwirkung für beide beteiligten Körper gleich ist, sind auch die beiden Kraftstöße gleich

$F_1 \triangle t = F_2 \triangle t$    

und damit ist ebenfalls der Impuls gleich:

$\triangle p_1 = \triangle p_2$

Die Impulserhaltung besagt, dass der Gesamtimpuls konstant sein muss. Das bedeutet also, dass der Gesamtimpuls vor dem Stoß gleich dem Gesamtimpuls nach dem Stoß sein muss. Der Gesamtimpuls ist die Summe der Impulse der am Stoß beteiligten Körper:

Bei unserem Beispiel ist also die Summe der Impulse von  Fahrzeug 1 und  Fahrzeug 2 vor dem Aufprall und nach dem Aufprall gleich.

Vektorielle Schreibweise

Die obige Gleichung der Impulserhaltung kann bei einer eindimensionalen Bewegung verwendet werden:

Impuls, einseitige Bewegung

Im Normalfall treten aber zwei- oder dreidimensionale Bewegungen nach dem Stoß auf. So stelle man sich zwei Billiardkugeln vor, welche aufeinanderprallen. Diese trennen sich nach dem Stoß in einer zweidimensionalen Bewegung (springt die Kugel nach dem Stoß, liegt sogar eine dreidimensionale Bewegung vor).

Impuls, zweidimensionale Bewegung

An dieser Stelle ist es sinnvoll, den Impuls mit Vektoren zu schreiben: 

Anwendungsbeispiel: Impuls

Zunächst werden wir die Einheiten so anpassen, dass wir den Impuls in Ns angeben können. 

$1 Ns = \frac{kg \cdot m}{s}$

Wir müssen also Tonne in kg umrechnen und km/h in m/s:

$2 Tonnen = 2.000 kg$

$30 \frac{km}{h} = 30 \frac{1.000}{3.600} \frac{m}{s} = 8,3 \frac{m}{s}$.

Das Auto weist einen Impuls auf von:

$p_A = m_A \cdot v_A = 2.000 kg \cdot 8,3 \frac{m}{s} = 16.600 Ns$

Da die Geschwindigkeit $v = 0$ ist, ist auch der Impuls des Autos 0.

Das Fahrzeug $A$ weist einen Impuls vor dem Aufprall auf in Höhe von:

$p_A = 2.000 kg \cdot 40 \frac{1.000}{3.600} \frac{m}{s} = 22.222,22 Ns$

Das Fahrzeug $B$ weist einen Impuls vor dem Aufprall auf von:

$p_B = 1.800 kg \cdot 10 \frac{1.000}{3.600} \frac{m}{s} = 5.000 Ns$

Der Gesamtimpuls vor dem Aufprall beträgt also:

$p_{ges} = 22.222,22 + 5.000 = 27.222,22 Ns$.

Nach dem Aufprall hat das Fahrzeug $B$ einen Impuls von:

$p'_B = 6.000 Ns$.

Nach dem Impulserhaltungssatz muss der Gesamtimpuls vor und nach dem Stoß konstant sein:

$p_{ges} = p'_{ges}$

Daraus folgt:

$p'_{ges} = p'_A + p'_B$

$27.222,22 Ns = p'_A + 6.000 Ns$

Auflösen nach $p'_A$:

$p'_A = 27.222,22 Ns - 6.000 Ns = 21.222,22$

Das bedeutet, dass das Fahrzeug $A$ dem Fahrzeug $B$ einen Impuls von 1.000 Ns überträgt. Wir können nun auch noch ausrechnen, welche Geschwindigkeit das Fahrzeug $A$ und das Fahrzeug $B$ aufweisen (davon ausgehend, dass die Masse sich nicht verändert hat, beim Aufprall also keine Teile vom Auto abgefallen sind):

$p_A = m_A \cdot v_A$

$21.222,22 Ns = 2.000 kg \cdot v_A$

$v_A = \frac{21.222,22 Ns}{2.000 kg} = 10,61 \frac{m}{s}$

Angabe in km/h wie in der Aufgabenstellung:

$v_A = 10,61 \frac{3.600}{1.000} \frac{km}{h} = 38,2 \frac{km}{h}$.

$p_B = m_B \cdot v_B$

$6.000 Ns = 1.800 kg \cdot v_A$

$v_B = \frac{6.000 Ns}{1.800 kg} = 3,3 \frac{m}{s}$

Angabe in km/h wie in der Aufgabenstellung:

$v_B = 3,3 \frac{3.600}{1.000} \frac{km}{h} = 11,88 \frac{km}{h}$.

Fahrzeug $A$ ist aufgrund des Zusammenstoßes und der damit verbundenen Impulsabgabe langsamer, Fahrzeug $B$ hingegen ist aufgrund der Impulszunahme schneller geworden.