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Anwendungsbeispiel: Waagerechter Wurf
Beispiel
Ein Ball wird mit der Anfangsgeschwindigkeit von $v_0 = 10 \frac{m}{s}$ waagerecht abgeworfen. Wie groß sind Geschwindigkeit, Tangential- und Normalbeschleunigung 1s nach dem Start?
Bei einem waagerechten Wurf können wir uns ein kartesisches Koordinatensystem zur Hilfe nehmen. Wir zerlegen die Bewegung in eine $x$- und in eine $y$-Komponente.
Betrachtung der x-Richtung
Die $x$-Komponente ist hierbei eine gleichförmige Bewegung, d.h. also der Ball fliegt in $x$-Richtung mit konstanter Geschwindigkeit. Warum? Weil in $x$-Richtung keine Beschleunigung wirkt. Wir können also den Weg in $x$-Richtung mithilfe der Formeln für die gleichförmige Bewegung darstellen:
$x = x_0 + v_0(t - t_0)$
Wir beginnen mit der Zeitmessung beim Abwurf, also bei $t_0 = 0$. Die Wegmessung beginnt ebenfalls beim Abwurf, weshalb $x_0 = 0$:
Methode
$x = v_0 \cdot t$ Weg-Zeit-Gesetz
Die Geschwindigkeit in $x$-Richtung können wir mittels Ableitung des Weges nach der Zeit bestimmen:
Methode
$v_x = \frac{dx}{dt} = v_0$ Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
Die Beschleunigung bestimmt sich durch Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit $t$:
Methode
$a_x = \frac{dv}{dt} = 0$ Beschleunigungs-Zeit-Gesetz
Betrachtung der y-Richtung
Wir betrachten als nächstes die $y$-Richtung. Auf den Ball wirkt die Erdanziehung, weshalb wir hier eine Fallbeschleunigung $g$ nach unten gerichtet gegeben haben. Die Fallbeschleunigung ist konstant, weshalb eine gleichförmig beschleunigte Bewegung vorliegt. Den Weg in $y$-Richtung können wir also mittels der Formeln aus dem Text gleichförmig beschleunigte Bewegung bestimmen:
$y = y_0 + \frac{1}{2} a_y \cdot (t - t_0)^2 + v_{y0} \cdot (t - t_0)$
Auch hier gilt wieder $t_0 = 0$ und $y_0 = 0$:
$y = \frac{1}{2} a_y \cdot t^2 + v_{y0} \cdot t$
Die Anfangsgeschwindigkeit $v_{0y}$ in $y$-Richtung ist ebenfalls Null, weil der Abwurf waagerecht stattfindet. Wir haben also zu Anfang keine nach unten gerichtete Geschwindigkeit:
$y = \frac{1}{2} a_y \cdot t^2 $
Die Beschleunigung $a_y$ ist die Fallbeschleunigung, also $a_y = g$:
Methode
$y = \frac{1}{2} g \cdot t^2 $ Weg-Zeit-Gesetz
Die Ableitung des Weges $y$ nach der Zeit $t$ ergibt dann die Geschwindigkeit in $y$-Richtung:
Methode
$v_y = \frac{dy}{dt} = g \cdot t$ Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
Die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit $t$ ergibt dann die Beschleunigung in $y$-Richtung:
Methode
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = g$ Beschleunigungs-Zeit-Gesetz
Nachdem wir nun die Bewegungsgesetze bestimmt haben, können wir damit beginnen die obige Aufgabe zu lösen.
a) Wie groß ist die Geschwindigkeit nach 1s?
Wir können nun also die gesamte Geschwindigkeit bestimmen, indem wir beide Geschwindigkeitskomponenten zusammenfassen. Mittels Satz des Pythagoras ergibt sich dann die Gesamtgeschwindigkeit:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + (g \cdot t)^2}$
Wir setzen nun $t = 1s$, $v_0 = 10 \frac{m}{s}$ und $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ und erhalten:
$v = \sqrt{(10 \frac{m}{s})^2 + (9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 1 s)^2}$
$v = 14 \frac{m}{s}$
Nach 1s weist der Ball eine Gesamtgeschwindigkeit von $v = 14 \frac{m}{s}$ auf.
b) Wie groß ist die Tangential- und Normalbeschleunigung nach 1s?
Die Tangentialbeschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit $v$ nach der Zeit $t$. Wir betrachten also die Geschwindigkeit:
$v = \sqrt{v_0^2 + (g \cdot t)^2}$
und leiten diese nach der Zeit $t$ ab (Kettenregel anwenden):
$a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{1}{ \sqrt{v_0^2 + (g \cdot t)^2}} \cdot g^2 \cdot t$
Hinweis
EXKURS: Kettenregel anwenden
Wir setzen
$g(t) = \sqrt{t}$ und $h(t) = v_0^2 + (g \cdot t)^2$
Die Ableitungen von $g(t)$ und $h(t)$ müssen als nächstes bestimmt werden:
$g(t) = \sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}$ -> $g'(t) = \frac{1}{2} t^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{t}}$
$h'(t) = (g \cdot t)^2 = g^2 \cdot t^2 = 2 g^2 \cdot t$
Es gilt die Formel für die Kettenregel:
$g'(h(t)) \cdot h'(t)$
Wir setzen also $h(t)$ für $t$ in die Funktion $g'(t)$ ein und multiplizieren das Ganze mit $h'(t)$:
$\frac{1}{2 \sqrt{v_0^2 + (g \cdot t)^2}} \cdot 2 g^2 \cdot t$
Kürzen:
$\frac{1}{\sqrt{v_0^2 + (g \cdot t)^2}} \cdot g^2 \cdot t$
Dabei ist der Nenner genau wieder $v$. Also abgekürzt kann man nun schreiben:
Methode
$a_t = \frac{1}{v} \cdot g^2 \cdot t$
mit
$v = \sqrt{v_0^2 + (g \cdot t)^2}$
Wir können also zunächst die Tangentialbeschleunigung für $t = 1s$ bestimmen:
$a_t = \frac{1}{14 \frac{m}{s}} \cdot (9,81 \frac{m}{s^2})^2 \cdot 1s$
$a_t = 6,87 \frac{m}{s^2}$
Als nächstes betrachten wir die Normalbeschleunigung. Diese kann bestimmt werden aus der folgenden Gleichung:
$a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$ |Quadrieren
$a^2 = a_t^2 + a_n^2$ |Umstellen
$a_n^2 = a^2 - a_t^2 $ |Einsetzen von $a_t$
$a_n^2 = a^2 - \frac{1}{v^2} \cdot g^4 \cdot t^2$
$a_n = \sqrt{a^2 - (\frac{1}{v} \cdot g^2 \cdot t)^2}$
Die Gesamtbeschleunigung kann ebenfalls bestimmt werden aus:
$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$
$a = \sqrt{0^2 + g^2} = g$
Einsetzen in die obige Formel:
$a_n = \sqrt{g^2 - (\frac{1}{v} \cdot g^2 \cdot t)^2}$
Wir können nun alle Werte einsetzen und erhalten:
$a_n = \sqrt{(9,81 \frac{m}{s^2}^2 - (\frac{1}{14 \frac{m}{s}} \cdot (9,81 \frac{m}{s^2})^2 \cdot 1s)^2}$
$a_n = 7 \frac{m}{s^2}$
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