Beispiel: Schiefer Wurf

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man die Wurfweite eines Balls bestimmt, welcher aus der Ruhelage im Winkel $\alpha$ zur positiven $x$-Achse geworfen wird. Es gezeigt wie man anhand des 2. Newtonschen Gesetzes die Wurfweite bestimmt.

Beispiel: Schiefer Wurf

Es werden nun im Folgenden die $z$- und $x$-Richtung zunächst separat betrachtet, um am Ende beide Ergebnisse zusammenfassen zu können. Für die separate Betrachtung der beiden Richtungen muss auch die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ in diese beiden Komponenten zerlegt werden. Es ergibt sich:

$v_{0x} = v_0 \cdot \cos(35°) = 16,38 \frac{m}{s}$.

$v_{0z} = v_0 \cdot \sin(35°) = 11,47 \frac{m}{s}$.

Es müssen auch alle an den Massenpunkt angreifenden Kräfte in $x$- und $z$-Richtung zerlegt werden. Dabei gehen für das Newtonsche Grundgesetz für die $x$-Richtung alle Kräfte in $x$-Richtung ein $\sum F_x = ma$ und für die $z$-Richtung alle Kräfte in $z$-Richtung $\sum F_z = ma$.

In diesem Fall existiert nur die Gewichtskraft $G$, welche in negative $z$-Richtung wirkt.

Betrachtung der z-Richtung

Es wird zunächst die $z$-Richtung betrachtet:

$F_z = ma_z$

$-G = ma_z$

Dabei ist $G = mg$:

$-mg = ma_z$

Auflösen nach $a_z$:

$a_z = -g = -9,81 \frac{m}{s^2}$

Die Beschleunigung ist konstant $a_z = -9,81 \frac{m}{s^2} = const$. Es handelt sich um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung. Die Formel und Zusammenhänge aus diesem Abschnitt werden im Weiteren verwendet.

$a_z = \frac{dv_z}{dt} \; \rightarrow \; \int_{v_{0z}}^{v_z} dv_z = \int_{t_0}^t a_z \; dt$

$v_z = v_{0z} - 9,81 \frac{m}{s^2} (t - t_0)$

Zu Beginn des Wurfs ist $t_0 = 0$ und $v_{0z} = 11,47 \frac{m}{s}$:

Es gilt weiterhin $v_z = \frac{dz}{dt}$ und damit $\int_{z_0}^z dz = \int_{t_0}^t v_z \; dt$. Einsetzen von $v_z$ ergibt:

$\int_{z_0}^z dz = \int_{t_0}^t  (11,47 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} t) dt$.

Integration (wobei $t_0 = 0$):

$z - z_0 = 11,47 \frac{m}{s} \; t - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; t^2$.

Zu Beginn ist $z_0 = 0$:

Betrachtung der x-Richtung

Es wird nun die $x$-Koordinate betrachtet:

$F_x = ma_x$

$0 = ma_x$     /Es wirken keine Kräfte auf den Ball in $x$-Richtung

$a_x = 0$.

Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung. Es werden die Gleichungen und Zusammenhänge aus dem Abschnitt gleichförmige Bewegung verwendet.

Es gilt $a_x = \frac{dv_x}{dt}$ und damit:

Es ergibt sich also eine konstante Geschwindigkeit, die der Anfangsgeschwindigkeit $v_{0x}$ entspricht. Konstant bedeutet, dass keine Änderung stattfindet.

Den Ort erhält man durch $v_x = \frac{dx}{dt}$ und umstellen nach $dx$:

$\int_{x_0}^{x} dx = \int_{t_0}^t v_{0x} \; dt$.

Einsetzen von $v_{0x} = 16,38 \frac{m}{s}$ ergibt dann nach der Integration:

$x = x_0 + 16,38 \frac{m}{s} (t - t_0)$

Zu Beginn gilt $x_0 = 0$ und $t_0 = 0$:

Zusammenfassung

(1) $z  = 11,47 \frac{m}{s} \; t - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; t^2$.

(2) $x = 16,38 \frac{m}{s}  t$

Es wird nun (2) nach $t$ aufgelöst und in (1) eingesetzt um die Zeit $t$ zu eliminieren, da diese unbekannt ist:

(2) $t = \frac{x}{16,38 \frac{m}{s}}$

Einsetzen in (1) ergibt:

Die obige Gleichung stellt die Bahnkurve des Balls dar. Es handelt sich hierbei um eine quadratische Parabel, welche auch Wurfparabel genannt wird. 

Hat der Ball die maximale Wurfweite $x_w$ erreicht, so ist die Höhe des Balls $z = 0$. Der Ball liegt dann am Boden:

$0 = 11,47 \frac{m}{s} \cdot \frac{x_w}{16,38 \frac{m}{s}} - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; \frac{x_w^2}{16,38^2 \frac{m}{s}}$.

Auflösen nach $x_w$ ergibt:

$11,47 \frac{m}{s} \cdot \frac{x_w}{16,38 \frac{m}{s}} = \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; \frac{x_w^2}{16,38^2 \frac{m}{s}}$.

Die Wurfweite des Balls beträgt 38,30 m.

Die Zeit die der Ball benötigt um wieder am Boden zu landen kann aus (2) berechnet werden, indem die Wurfweite $x_w$ eingesetzt wird: