ZU DEN KURSEN!

Technische Mechanik 3: Dynamik - Beispiel: Schiefer Wurf

Kursangebot | Technische Mechanik 3: Dynamik | Beispiel: Schiefer Wurf

Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiel: Schiefer Wurf

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man die Wurfweite eines Balls bestimmt, welcher aus der Ruhelage im Winkel $\alpha$ zur positiven $x$-Achse geworfen wird. Es gezeigt wie man anhand des 2. Newtonschen Gesetzes die Wurfweite bestimmt.

Beispiel: Schiefer Wurf

Beispiel Schiefer Wurf

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Nachdem im vorangegangenen Abschnitt der vertikale Wurf behandelt wurde, geht es nun um den schiefen Wurf. Hierzu wird ein Ball in $t=0$ mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 20 m/s$ unter dem Winkel $\alpha = 35°$ zur positiven $x$-Achse abgeworfen. Die Masse des Balls betrage $m = 40 kg$. Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden. Wie weit fliegt der Ball? Wieviel Zeit benötigt dieser?

Es werden nun im Folgenden die $z$- und $x$-Richtung zunächst separat betrachtet, um am Ende beide Ergebnisse zusammenfassen zu können. Für die separate Betrachtung der beiden Richtungen muss auch die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ in diese beiden Komponenten zerlegt werden. Es ergibt sich:

$v_{0x} = v_0 \cdot \cos(35°) = 16,38 \frac{m}{s}$.

$v_{0z} = v_0 \cdot \sin(35°) = 11,47 \frac{m}{s}$.

Es müssen auch alle an den Massenpunkt angreifenden Kräfte in $x$- und $z$-Richtung zerlegt werden. Dabei gehen für das Newtonsche Grundgesetz für die $x$-Richtung alle Kräfte in $x$-Richtung ein $\sum F_x = ma$ und für die $z$-Richtung alle Kräfte in $z$-Richtung $\sum F_z = ma$.

In diesem Fall existiert nur die Gewichtskraft $G$, welche in negative $z$-Richtung wirkt.

Betrachtung der z-Richtung

Es wird zunächst die $z$-Richtung betrachtet:

$F_z = ma_z$

$-G = ma_z$

Dabei ist $G = mg$:

$-mg = ma_z$

Auflösen nach $a_z$:

$a_z = -g = -9,81 \frac{m}{s^2}$

Die Beschleunigung ist konstant $a_z = -9,81 \frac{m}{s^2} = const$. Es handelt sich um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung. Die Formel und Zusammenhänge aus diesem Abschnitt werden im Weiteren verwendet.

$a_z = \frac{dv_z}{dt} \; \rightarrow \; \int_{v_{0z}}^{v_z} dv_z = \int_{t_0}^t a_z \; dt$

$v_z = v_{0z} - 9,81 \frac{m}{s^2} (t - t_0)$

Zu Beginn des Wurfs ist $t_0 = 0$ und $v_{0z} = 11,47 \frac{m}{s}$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$v_z = 11,47 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} t$

Es gilt weiterhin $v_z = \frac{dz}{dt}$ und damit $\int_{z_0}^z dz = \int_{t_0}^t v_z \; dt$. Einsetzen von $v_z$ ergibt:

$\int_{z_0}^z dz = \int_{t_0}^t  (11,47 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} t) dt$.

Integration (wobei $t_0 = 0$):

$z - z_0 = 11,47 \frac{m}{s} \; t - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; t^2$.

Zu Beginn ist $z_0 = 0$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$z  = 11,47 \frac{m}{s} \; t - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; t^2$.

Betrachtung der x-Richtung


Es wird nun die $x$-Koordinate betrachtet:

$F_x = ma_x$

$0 = ma_x$     /Es wirken keine Kräfte auf den Ball in $x$-Richtung

$a_x = 0$.

Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung. Es werden die Gleichungen und Zusammenhänge aus dem Abschnitt gleichförmige Bewegung verwendet.

Es gilt $a_x = \frac{dv_x}{dt}$ und damit:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$v_x = v_{0x}  = 16,38 \frac{m}{s}$

Es ergibt sich also eine konstante Geschwindigkeit, die der Anfangsgeschwindigkeit $v_{0x}$ entspricht. Konstant bedeutet, dass keine Änderung stattfindet.

Den Ort erhält man durch $v_x = \frac{dx}{dt}$ und umstellen nach $dx$:

$\int_{x_0}^{x} dx = \int_{t_0}^t v_{0x} \; dt$.

Einsetzen von $v_{0x} = 16,38 \frac{m}{s}$ ergibt dann nach der Integration:

$x = x_0 + 16,38 \frac{m}{s} (t - t_0)$

Zu Beginn gilt $x_0 = 0$ und $t_0 = 0$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$x = 16,38 \frac{m}{s}  t$

Zusammenfassung

(1) $z  = 11,47 \frac{m}{s} \; t - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; t^2$.

(2) $x = 16,38 \frac{m}{s}  t$

Es wird nun (2) nach $t$ aufgelöst und in (1) eingesetzt um die Zeit $t$ zu eliminieren, da diese unbekannt ist:

(2) $t = \frac{x}{16,38 \frac{m}{s}}$


Einsetzen in (1) ergibt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

(3) $z  = 11,47 \frac{m}{s} \cdot \frac{x}{16,38 \frac{m}{s}} - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; \frac{x^2}{16,38^2 \frac{m}{s}}$.

Die obige Gleichung stellt die Bahnkurve des Balls dar. Es handelt sich hierbei um eine quadratische Parabel, welche auch Wurfparabel genannt wird. 

Hat der Ball die maximale Wurfweite $x_w$ erreicht, so ist die Höhe des Balls $z = 0$. Der Ball liegt dann am Boden:

$0 = 11,47 \frac{m}{s} \cdot \frac{x_w}{16,38 \frac{m}{s}} - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; \frac{x_w^2}{16,38^2 \frac{m}{s}}$.

Auflösen nach $x_w$ ergibt:

$11,47 \frac{m}{s} \cdot \frac{x_w}{16,38 \frac{m}{s}} = \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; \frac{x_w^2}{16,38^2 \frac{m}{s}}$.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$x_w = 38,30 m$

Die Wurfweite des Balls beträgt 38,30 m.


Die Zeit die der Ball benötigt um wieder am Boden zu landen kann aus (2) berechnet werden, indem die Wurfweite $x_w$ eingesetzt wird:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

 $t = \frac{x_w}{16,38 \frac{m}{s}} = 2,34 s$