Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man die Wurfweite eines Balls bestimmt, welcher aus der Ruhelage im Winkel $\alpha$ zur positiven $x$-Achse geworfen wird. Es gezeigt wie man anhand des 2. Newtonschen Gesetzes die Wurfweite bestimmt.
Beispiel: Schiefer Wurf
Beispiel
Nachdem im vorangegangenen Abschnitt der vertikale Wurf behandelt wurde, geht es nun um den schiefen Wurf. Hierzu wird ein Ball in $t=0$ mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 20 m/s$ unter dem Winkel $\alpha = 35°$ zur positiven $x$-Achse abgeworfen. Die Masse des Balls betrage $m = 40 kg$. Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden. Wie weit fliegt der Ball? Wieviel Zeit benötigt dieser?
Es werden nun im Folgenden die $z$- und $x$-Richtung zunächst separat betrachtet, um am Ende beide Ergebnisse zusammenfassen zu können. Für die separate Betrachtung der beiden Richtungen muss auch die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ in diese beiden Komponenten zerlegt werden. Es ergibt sich:
$v_{0x} = v_0 \cdot \cos(35°) = 16,38 \frac{m}{s}$.
$v_{0z} = v_0 \cdot \sin(35°) = 11,47 \frac{m}{s}$.
Es müssen auch alle an den Massenpunkt angreifenden Kräfte in $x$- und $z$-Richtung zerlegt werden. Dabei gehen für das Newtonsche Grundgesetz für die $x$-Richtung alle Kräfte in $x$-Richtung ein $\sum F_x = ma$ und für die $z$-Richtung alle Kräfte in $z$-Richtung $\sum F_z = ma$.
In diesem Fall existiert nur die Gewichtskraft $G$, welche in negative $z$-Richtung wirkt.
Betrachtung der z-Richtung
Es wird zunächst die $z$-Richtung betrachtet:
$F_z = ma_z$
$-G = ma_z$
Dabei ist $G = mg$:
$-mg = ma_z$
Auflösen nach $a_z$:
$a_z = -g = -9,81 \frac{m}{s^2}$
Die Beschleunigung ist konstant $a_z = -9,81 \frac{m}{s^2} = const$. Es handelt sich um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung. Die Formel und Zusammenhänge aus diesem Abschnitt werden im Weiteren verwendet.
$a_z = \frac{dv_z}{dt} \; \rightarrow \; \int_{v_{0z}}^{v_z} dv_z = \int_{t_0}^t a_z \; dt$
$v_z = v_{0z} - 9,81 \frac{m}{s^2} (t - t_0)$
Zu Beginn des Wurfs ist $t_0 = 0$ und $v_{0z} = 11,47 \frac{m}{s}$:
Methode
$v_z = 11,47 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} t$
Es gilt weiterhin $v_z = \frac{dz}{dt}$ und damit $\int_{z_0}^z dz = \int_{t_0}^t v_z \; dt$. Einsetzen von $v_z$ ergibt:
$\int_{z_0}^z dz = \int_{t_0}^t (11,47 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} t) dt$.
Integration (wobei $t_0 = 0$):
$z - z_0 = 11,47 \frac{m}{s} \; t - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; t^2$.
Zu Beginn ist $z_0 = 0$:
Methode
$z = 11,47 \frac{m}{s} \; t - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; t^2$.
Betrachtung der x-Richtung
Es wird nun die $x$-Koordinate betrachtet:
$F_x = ma_x$
$0 = ma_x$ /Es wirken keine Kräfte auf den Ball in $x$-Richtung
$a_x = 0$.
Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung. Es werden die Gleichungen und Zusammenhänge aus dem Abschnitt gleichförmige Bewegung verwendet.
Es gilt $a_x = \frac{dv_x}{dt}$ und damit:
Methode
$v_x = v_{0x} = 16,38 \frac{m}{s}$
Es ergibt sich also eine konstante Geschwindigkeit, die der Anfangsgeschwindigkeit $v_{0x}$ entspricht. Konstant bedeutet, dass keine Änderung stattfindet.
Den Ort erhält man durch $v_x = \frac{dx}{dt}$ und umstellen nach $dx$:
$\int_{x_0}^{x} dx = \int_{t_0}^t v_{0x} \; dt$.
Einsetzen von $v_{0x} = 16,38 \frac{m}{s}$ ergibt dann nach der Integration:
$x = x_0 + 16,38 \frac{m}{s} (t - t_0)$
Zu Beginn gilt $x_0 = 0$ und $t_0 = 0$:
Methode
$x = 16,38 \frac{m}{s} t$
Zusammenfassung
(1) $z = 11,47 \frac{m}{s} \; t - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; t^2$.
(2) $x = 16,38 \frac{m}{s} t$
Es wird nun (2) nach $t$ aufgelöst und in (1) eingesetzt um die Zeit $t$ zu eliminieren, da diese unbekannt ist:
(2) $t = \frac{x}{16,38 \frac{m}{s}}$
Einsetzen in (1) ergibt:
Methode
(3) $z = 11,47 \frac{m}{s} \cdot \frac{x}{16,38 \frac{m}{s}} - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; \frac{x^2}{16,38^2 \frac{m}{s}}$.
Die obige Gleichung stellt die Bahnkurve des Balls dar. Es handelt sich hierbei um eine quadratische Parabel, welche auch Wurfparabel genannt wird.
Hat der Ball die maximale Wurfweite $x_w$ erreicht, so ist die Höhe des Balls $z = 0$. Der Ball liegt dann am Boden:
$0 = 11,47 \frac{m}{s} \cdot \frac{x_w}{16,38 \frac{m}{s}} - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; \frac{x_w^2}{16,38^2 \frac{m}{s}}$.
Auflösen nach $x_w$ ergibt:
$11,47 \frac{m}{s} \cdot \frac{x_w}{16,38 \frac{m}{s}} = \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \; \frac{x_w^2}{16,38^2 \frac{m}{s}}$.
Methode
$x_w = 38,30 m$
Die Wurfweite des Balls beträgt 38,30 m.
Die Zeit die der Ball benötigt um wieder am Boden zu landen kann aus (2) berechnet werden, indem die Wurfweite $x_w$ eingesetzt wird:
Methode
$t = \frac{x_w}{16,38 \frac{m}{s}} = 2,34 s$
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