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Physik

Gleichförmige Kreisbewegung

Zeiger einer Automatikuhr mit konstanter Geschwindigkeit
Zeiger einer Automatikuhr mit konstanter Geschwindigkeit

Handelt es sich um eine kreisförmige Bewegung mit einer konstanten Bahngeschwindigkeit $|\vec{v}| = v$ so spricht man von einer gleichförmigen Kreisbewegung. Beschreibt ein Körper eine gleichförmige Kreisbewegung, so ändert sich ständig seine Richtung, nicht aber der Betrag seiner Geschwindigkeit. Eine volle Umdrehung entspricht dabei einem Winkel von $2 \pi$ Radiant oder 360 Grad. Um die Bogenlänge $s^*$ zu bestimmen, die ein Körper auf einer Kreisbahn zurücklegt, muss der Radius des Kreises herangezogen werden:

Methode

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$s^* = 2 \cdot \pi \cdot r$                  Bogenlänge 

Winkelgeschwindigkeit 

Bei Kreisbewegungen wird anstelle der Bahngeschwindigkeit $v$ die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ angegeben. Die Winkelgeschwindigkeit ist dabei definiert als der Quotient aus dem überstrichenen Winkel $\triangle \varphi$ und der dazu benötigten Zeit $\triangle t$:

Methode

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$\omega = \frac{\triangle \varphi}{\triangle t}$                     Winkelgeschwindigkeit

mit

$\triangle \varphi$  dDifferenz Endwinkel und Anfangswinkel

$\triangle t$  Differenz Endzeit und Anfangszeit

Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ wird der Winkel $\varphi$ im Bogenmaß (Radiant) angegeben.

Den überstrichenen Winkel kann man ganz einfach berechnen, indem man die obige Formel nach $\triangle \varphi$ auflöst:

Methode

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$\triangle \varphi = \omega \cdot \triangle t$

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung überstreicht der Ortsvektor eines Körpers in gleichen Zeitabschnitten $\triangle t$ den selben Winkel $\varphi$. Das bedeutet also, dass die Winkelgeschwindigkeit konstant ist. 

Die Winkelgeschwindigkeit wird in Radiant pro Sekunde angebenen:

Methode

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Einheit: $\frac{rad}{s}$             Winkelgeschwindigkeit

Bei der Winkelgeschwindigkeit handelt es sich - wie bei der Bahngeschwindigkeit - um einen Skalar. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung, bei welcher die Winkelgeschwindigkeit konstant bleibt, existiert also nur eine mögliche Richtung für die Winkelgeschwindigkeit. Die Richtung ist senkrecht zur Drehebene bzw. in Richtung der Drehachse.

Drehebene und Drehachse, Winkelgeschwindigkeit
Drehebene und Drehachse, Winkelgeschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit/Bahngeschwindigkeit

Aus der Winkelgeschwindigkeit kann die Bahngeschwindigkeit $v$ bestimmt werden oder umgekehrt. Es gilt der folgende Zusammenhang zwischen der Bahngeschwindigkeit und der Winkelgeschwindigkeit:

Methode

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$v = \omega \cdot r $

Die Bahngeschwindigkeit $v$ ist also gleich dem Produkt aus der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ und dem Radius $r$ der Kreisbahn.

Normalbeschleunigung

Man könnte meinen, dass es sich bei der gleichförmigen Kreisbewegung um eine gleichförmige Bewegung handelt, weil eine konstante Bahngeschwindigkeit $v$ vorliegt.

Merke

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Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Beschleunigung gleich Null und damit die Geschwindigkeit konstant (siehe Abschnitt Gleichförmige Bewegung).

Allerdings handelt es sich bei der gleichförmigen Kreisbewegung um eine beschleunigte Bewegung. Grund dafür ist, dass zwar die Schnelligkeit des Körpers konstant bleibt, sich seine Richtung aber ständig ändert, da er sich sonst auf einer Geraden bewegen würde. Wie wir bereits im Abschnitt Bahnbeschleunigung kennengelernt haben, kann die Beschleunigung in eine Tangential- und in eine Normalbeschleungiung unterteilt werden. Die Tangentialbeschleunigung ist dafür zuständig, dass der Körper seine Schnelligkeit verändert. Diese Tangentialbeschleunigung ist bei der gleichförmigen Kreisbewegung gleich Null, da die Schnelligkeit konstant ist, es liegt also keine Geschwindigkeitsänderung pro Zeit vor. 

Die Tangentialbeschleunigung ergibt sich zu:

Methode

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Tangentialbeschleunigung: $a_t = \frac{dv}{dt} = 0$  


Die Normalbeschleunigung (auch: Radialbeschleunigung, Zentripetalbeschleunigung) ist für die Richtungsänderung eines Körpers zuständig. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist diese ungleich Null, weil der Körper seine Richtung ständig ändern muss, damit dieser sich nicht auf einer Geraden bewegt, sondern eine Kreisbewegung durchführt.

Die Normalbeschleunigung ergibt sich zu:

Methode

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 Normalbeschleunigung: $a_n = \frac{v^2}{r}$  

mit

$v$  Geschwindigkeit

$r$  Radius 

Die Normalbeschleunigung bezeichnet die Richtungsänderung eines Massenpunktes pro Zeit.

Merke

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Ist nur die Normalbeschleunigung gegeben, so ändert der Körper nur seine Bewegungsrichtung. Die Winkelgeschwindigkeit und damit Bahngeschwindigkeit bleibt konstant. 

Rechte-Hand-Regel

Die Rechte-Hand-Regel ermöglicht die Richtung der Winkelgeschwindigkeit zu bestimmen. Dazu wird die rechte Hand so verwendet, dass die Finger der rechten Hand mit den Innenseiten in die Richtung zeigen müssen, in die auch die Drehbewegung stattfindet. Der Daumen zeigt dann die Richtung der Winkelgeschwindigkeit an. 

Rechte-Hand-Regel
Rechte-Hand-Regel

Umlaufzeit und Drehzahl

Während einer Umdrehung wird ein Winkel von $2 \pi$ oder 360 Grad überstrichen, die dafür benötigte Umlaufzeit $T$ berechnet sich durch:

Methode

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$T = \frac{2 \pi}{\omega}$           Umlaufzeit

Die obige Formel gibt die Zeit $T$ an, die ein Körper benötigt um bei einer gewissen Winkelgeschwindigkeit $\omega$ eine volle Kreisumdrehung $2 \pi$ durchzuführen.

Die Drehzahl gibt die Anzahl der vollständigen Kreisumdrehungen pro Zeit an:

Methode

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$n = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2 \pi}$          Drehzahl

Dabei ist $2 \pi$ die vollständige Kreisumdrehung des Körpers, also eine Umdrehung um 360°. Bei gegebener Winkelgeschwindigkeit kann so also die Drehzahl bestimmt werden.

Die Drehzahl besitzt dieselbe Einheit wie die Winkelgeschwindigkeit, wird aber oft in Umdrehungen pro Sekunde angegeben, um die Unterscheidung vornehmen zu können:

Methode

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Einheit: $\frac{1}{s} = \frac{U}{s}$           Drehzahl

Frequenz

Die Frequenz macht eine Aussage über die Zahl der Umläufe pro Zeiteinheit. Durchläuft ein Körper also eine bestimmte Anzahl von Kreisumdrehungen $N$ in einer bestimmten Zeit $T$, so kann man mit der Frequenz $f$ den Anteil der Drehung pro Zeiteinheit bestimmen:

Methode

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$f = \frac{N}{T}$

mit

$N$ Anzahl der Umläufe insgesamt

$T$ benötige Zeit für die Umläufe

Die Einheit der Frequenz ist Hertz.

Methode

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Einheit: $1 Hz = \frac{1}{s}$

Anwendungsbeispiel: Frequenz

Beispiel

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Du steigst in ein Riesenrad ein und fährst insgesamt 3 Runden (3 Kreisumdrehungen) in einer Zeit von 10 Minuten. Wie ist die Frequenz?

Riesenrad
Riesenrad

$f = \frac{3}{10 min} = 0,3 \frac{1}{min} = 0,3 Hz$

In einer Minute schafft das Reisenrad eine Drehung von 0,3 Runden.

Anwendungsbeispiel: Gleichförmige Kreisbewegung

Beispiel

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Gegeben sei ein Schwungrad mit einem Radius von $r = 40 cm$.

Schwungrad an einem Dampfmaschinenmodell
Schwungrad an einem Dampfmaschinenmodell

Dieses Schwungrad weist eine konstante Geschwindigkeit von $v = 5 \frac{m}{s}$ auf. Die Zeitzählung beginnt bei $t_0 = 0$ und einem Winkel von $\varphi_0 = 0$. Nach $t_1 = 20 s$ besitzt das Schwungrad eine Drehzahl von n = 800 Drehungen pro Minute.

a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit des Rads?

b) Wieviele Umdrehungen macht das Rad in der Zeit $t_1 = 20s$?

c) Bestimme die Normalbeschleunigung!

a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit des Rads?

Es handelt sich hierbei um eine gleichförmige Kreisbewegung, weil die Bahngeschwindigkeit $v$ konstant ist. Ist die Bahngeschwindigkeit $v$ und der Radius $r$ gegeben, so kann die Winkelgeschwindigkeit bestimmt werden zu:

$v = \omega \cdot r $


Auflösen nach $\omega$:

$\omega = \frac{v}{r} = \frac{5 \frac{m}{s}}{0,4 m} = 12,5 \frac{1}{s}$

Die konstante Winkelgeschwindigkeit beträgt also 12,5 Radiant pro Sekunde.

b) Wieviele Umdrehungen macht das Rad in der Zeit t = 20s?

Die Umdrehungen bei der gleichförmigen Bewegung werden bestimmt mittels der folgenden Formel:

$n = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2 \pi}$    


Bei der Formel handelt es sich um die Umdrehungen pro Zeiteinheit:

$n = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{12,5 \frac{1}{s}}{2 \pi} = 1,99 \frac{1}{s} $

Das Rad weist 1,99 Umdrehungen pro Sekunde auf. Wir wollen nun aber wissen, welche Anzahl an Umdrehungen das Rad nach 20s aufweist. Wir multiplizieren diesen Wert also mit 20s:

$N = n \cdot T$

wobei $T = 20s$:

$N = 1,99 \frac{1}{s} \cdot 20s = 39,8$ Umdrehungen.

Das Rad dreht sich in 20 Sekunden 39,8 mal im Kreis.

c) Bestimme die Normalbeschleunigung!

Die Normalbeschleunigung (auch: Radialbeschleunigung, Zentripetalbeschleunigung) ist bei einer gleichfömrigen Kreisbewegung gegeben, weil sonst der Körper auf einer Geraden verlaufen würde. Sie ist also zuständig für die Richtungsänderung. Berechnet wird diese mit:

$a_n = \frac{v^2}{r}$  

$a_n = \frac{(5 \frac{m}{s})^2}{0,4 m} = 62,5 \frac{m}{s^2}$.

Merke

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Exkurs: Umrechung Radiant und Grad

Ein Vollwinkel hat $2\pi$ Radiant bzw. 360 Grad.

Ein Radiant (1 rad) entsprechen ungefähr 57,3 Grad.

Berechnung:

$1 rad = \frac{360°}{2\pi} = 57,3°$.

 

Anwendungsbeispiel: Bahngeschwindigkeit einer Festplatte

Beispiel

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Wir betrachten eine Festplatte, die mit einer Drehzahl von $n = 5400  rpm$ (revolutions per Minute = Umdrehungen pro Minute) rotiert. Der äußere Rand der Festplatte ist 6,75 cm von der Drehachse entfernt.

Welchen Wert hat die Bahngeschwindigkeit $v$ irgendeines Punktes in diesem Abstand zur Drehachse?


Wir wissen, dass die Bewegung eines Punktes gleichförmig verläuft, das bedeutet, dass sich seine Geschwindigkeit weder erhöht noch verlangsamt. Daher können wir hier die Gleichung für die gleichförmige Bewegung verwenden. Diese lautet:

$v = \frac{s}{t}$     (1)

Sowohl der Weg $s$ als auch die Zeit $t$ sind in der Aufgabenstellung nicht gegeben und müssen daher erst noch bestimmt werden.

Der Weg $s$ entspricht im vorliegenden Fall dem Kreisumfang, d. h.:

$s  \hat{=}  U$

Wir können somit die Gleichung für die Bogenlänge $s^*$ aus dem Kurstext verwenden:

$s = 2  \pi  r$     (2)

Die Zeit $t$ ergibt sich aus der Drehzahl $n = 5400  min^{-1}$ der Festplatte. Pro Sekunde erhalten wir folgenden Wert:

$\frac{5400  min^{-1}}{60  \frac{s}{min}} = 90  s^{-1}$

Somit benötigt ein Punkt auf dem äußeren Rand der Festplatte einen Zeit $t = \frac{1}{90} s$     (3), um einen Umlauf zu absolvieren.

Wir setzen nun (2) und (3) in (1) ein:

$v = \frac{2  \pi  r}{t}$     |Einsetzen der Werte

$v = \frac{2 \cdot \pi \cdot  6,75  \cdot  10^{-2}  m}{\frac{1}{90} s}$

$v = 38,17 \frac{m}{s}$     |Umwandeln in $\frac{km}{h}$

$v = 38,17 \frac{m}{s} \cdot \frac{3600 \frac{s}{h}}{1000 \frac{m}{km}}$     |Einheiten kürzen

$v = 38,17 \cdot \frac{3600 \frac{1}{h}}{1000 \frac{1}{km}}$

$v = 38,17 \cdot \frac{3600  km}{1000  h}$

$v = 137,41  \frac{km}{h}$

Die Bahngeschwindigkeit des Punktes beträgt $v = 137,41 \frac{km}{h}$.