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Physik - Beispiel: Geschwindigkeitsvektor

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Physik

Beispiel: Geschwindigkeitsvektor

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die folgende Bahnkurve, wobei wieder eine Koordinate null gesetzt wird, um das Problem grafisch zu veranschaulichen: $r(t) = (2t^2, 5t, 0t)$. Wie sieht der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit $t = 2$ aus?

Der Punkt um den es sich hier handelt ist: $P(8,10,0)$   (Einsetzen von $t = 2$).

Die Geschwindigkeit bestimmt sich durch Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{v} = \dot{r} = (4t,5,0)$. 

Es ist deutlich zu sehen, dass der berechnete Geschwindigkeitsvektor nicht in jedem Punkt gleich ist, da eine Abhängigkeit von der Zeit $t$ gegeben ist. Zur Zeit $t = 2$ ist der Geschwindigkeitsvektor dann:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{v} = (8,5,0)$.

D.h. also, dass der Geschwindigkeitsvektor $v$ für unterschiedliche Zeitpunkte auch unterschiedlich aussieht. Für $t = 2$ ergibt sich demnach ein Vektor von $\vec{v} = (8,5,0)$, welcher im Punkt $P(8,10,0)$ tangential an der Bahnkurve liegt. Zur Zeit $t = 3$ liegt der Geschwindigkeitsvektor $\vec{v} = (12,5,0)$ im Punkt $P(18,15,0)$ tangential an der Bahnkurve.

Die Bahnkurve und die Punkte zu unterschiedlichen Zeitpunkten sieht wie folgt aus:

Geschwindigkeit eines Massenpunktes

Es wird nun der Geschwindigkeitsvektor für die Zeit $t=2$ eingezeichnet. Dieser zeigt vom Ursprung auf den Punkt $(8,5,0)$ so wie oben berechnet. Der Geschwindigkeitsvektor muss dann noch in den Punkt $(8,10,0)$ verschoben werden. Dabei darf die Richtung des Geschwindigkeitsvektors nicht verändert werden:

Geschwindigkeit eines Massenpunktes

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass der berechnete Geschwindigkeitsvektor (rot) für $t=2$ tangential an der Bahnkurve liegt, in dem Punkt für welchen $t=2$ gilt. Für alle anderen Punkte ($t \neq 2$) gilt dieser Geschwindigkeitsvektor nicht. Für andere Zeitpunkte muss auch ein anderer Geschwindigkeitsvektor bestimmt werden. Der allgemeine Vektor wurde berechnet durch die Ableitung der Bahnkurve:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{v} = \dot{r} = (4t,5,0)$. 

Für $t=3$ ist der Geschwindigkeitsvektor dann:

$\vec{v} = (12,5,0)$. Dieser gilt dann aber auch nur für den Punkt mit $t =3$ und liegt demnach auch nur in diesem Punkt tangential an der Bahnkurve.