Schräger Wurf

In diesem Abschnitt wollen wir uns dem waagerechten bzw. schrägen Wurf zuwenden. 

Zum besseren Verständnis werden wir einen Stein betrachten der waagerecht oder schräg vom Koordinatenursprung abgeworfen wird. 

Schräger Wurf

Bewegungsgleichungen

Aus Experimenten ist bekannt, dass bei einem Wurf die Vektorbeschleunigung $\vec{a}$ immer in die Richtung der Erdanziehung (also senkrecht nach unten) zeigt. Das bedeutet also, dass der Beschleunigungsvektor senkrecht nach unten gerichtet ist. Betrachten wir also die $x$- und $y$-Koordinaten so erhalten wir für die Beschleunigung:

Für die $y$-Achse liegt hier ein senkrechter Wurf (gleichförmig beschleunigte Bewegung) vor. Für die $x$-Achse eine gleichförmige Bewegung. Aus dem Abschnitt der gradlinigen Bewegung können dann die folgenden Formeln herangezogen werden:

y-Richtung (gleichförmig beschleunigte Bewegung)

$a_y = -g$             Minuszeichen, weil die Erdanziehung entgegen der positiven Koordinatenrichtung wirkt

$v_y = v_{y0} - g  \cdot (t - t_0)$

$y(t)  = y_0 - \frac{1}{2} g \cdot (t - t_0)^2 + v_{y0} \cdot (t - t_0)$

x-Richtung (gleichförmige Bewegung)

$a_x = 0$

$v_x(t) = v_{x0}$     Konstante Geschwindigkeit

$x(t) = x_0 + v_0(t - t_0)$

Der Abwurf beginnt bei $t_0 = 0$ und bei $x_0 = y_0 = 0$. Dann ergeben sich die Formel zu:

In der obige Box sind die Bewegungsgleichungen in $x$- und $y$-Richtung angegeben.

Bahnkurve

Als nächstes bestimmen wir die Gleichung für die Bahnkurve $y(x)$. Diese erhalten wir, indem wir das Ort-Zeit-Gesetz $x(t)$ nach $t$ auflösen und in das Ort-Zeit-Gesetz $y(t)$ einsetzen:

$x(t) = v_{x0} \cdot t$   | auflösen nach $t$

$t = \frac{x}{v_{x0}}$    |Einsetzen in $y(t)$

$y(x) =  -\frac{1}{2} g \cdot (\frac{x}{v_{x0}})^2 + v_{y0} \cdot \frac{x}{v_{x0}}$    |umformen

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass der Geschwindigkeitsvektor immer tangential an der Bahnkurve liegt. Für die Abwurfgeschwindigkeiten $v_{y0}$ und $v_{x0}$ gilt zudem, dass der Abwurfwinkel $\varphi$ dem Winkel zwischen dem Abwurfgeschwindigkeitsvektor $\vec{v}_0$ und der Horizontalen entspricht. 

Der Abwurfwinkel $\varphi$ und der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und der Horizontalen sind nur für die Abwurfgeschwindigkeiten identisch.

Wir können diese Gleichung in die obige Bahnkurve einsetzen:

$y(x) =  -\frac{1}{2} g\cdot \frac{x^2}{v_{x0}^2} + x \cdot \tan(\varphi)$ 

Betrachten wir nun den Betrag der Abwurfgeschwindigkeit $|\vec{v}_0| = v_0 $. Mit diesem Betrag können die Abwurfgeschwindigkeiten in $x$- und $y$-Richtung mittels Abwurfwinkel $\varphi$ wie folgt bestimmt werden:

Auch diesen Zusammenhang setzen wir in die Gleichung für die Bahnkurve ein (hier: $v_{x0}$):

Steigzeit, Steighöhe, Flugdauer, Wurfweite

Die Steigzeit $t_s$ ist diejenige Zeit, bei welcher der betrachtete Stein den höchsten Punkt der Bahnkurve erreicht. Hier gilt aufgrund der Richtungsänderung $v(t_s) = 0$ (Stein bleibt kurz in der Luft stehen und fällt dann nach unten) und damit $v_{x} = v_{y} = 0$. Aus dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz in $y$-Richtung mit $v_y = 0$ und $v_{y0} = v_0 \cdot \sin(\varphi)$ ergibt sich dann:

Die Steighöhe $y_{max}$ ist die maximale Höhe die der Stein erreichen wird. Die Steighöhe können wir aus dem Ort-Zeit-Gesetz in $y$-Richtung bestimmen, indem wir $t = t_s$ einsetzen:

$y(t)  = - \frac{1}{2} g \cdot t^2 + v_{y0} \cdot t$

$y_{max} = - \frac{1}{2} g \cdot  \frac{v_{y0}^2}{g^2} + v_{y0} \cdot \frac{v_{y0}}{g}$

$y_{max}  = - \frac{1}{2} \frac{v_{y0}^2}{g} + \frac{v_{y0}^2}{g}$

$y_{max}  = \frac{1}{2} \frac{v_{y0}^2}{g} $

Wenn wir nun noch  $v_{y0} = v_0 \cdot \sin(\varphi)$ berücksichtigen ergibt sich:

Wir wollen nun die gesamte Flugdauer $t_f$ des Steins bestimmen. Also die Zeit vom Abwurf bis zur Landung. Nachdem der Stein wieder gelandet ist, gilt $y(t) = 0$. Wir können die Ort-Zeit-Gleichung in $y$-Richtung heranziehen und erhalten dann für die gesamte Flugdauer:

$0  = - \frac{1}{2} g \cdot t^2 + v_{y0} \cdot t$

Auflösen nach $t = t_f$:

Wie weit der Stein in $x$-Richtung geworfen wird kann man über das Ort-Zeit-Gesetz in $x$-Ricchtung berechnen:

$x(t) = v_{x0} \cdot t$

Wir setzen zunächst $v_{x0} = v_0 \cdot \cos(\varphi)$ ein:

$x(t) = v_0 \cdot \cos(\varphi) \cdot t$

Um nun die Wurfweite bestimmen zu können, wird für $t$ die gesamte Flugdauer $t_s$ eingesetzt: 

$x(t) = v_0 \cdot \cos(\varphi) \cdot \frac{2 v_0 \cdot \sin(\varphi)}{g}$    

Einsetzen in die obige Gleichung:

Die maximale Wurfweite kann erreicht werden, wenn der Abwurfwinkel $\varphi = 45°$ beträgt. Dann ergibt sich die folgende Gleichung:

Betrag der Bahngeschwindigkeit

Sind die Geschwindigkeiten $v_x(t)$ und $v_y(t)$ in $x$- und $y$-Richtung ermittelt worden, so kann der Betrag der Bahngeschwindigkeit bestimmt werden zu:

Anwendungsbeispiel: Schräger Wurf

In der Aufgabenstellung ist die Abwurfgeschwindigkeit mit $v_0 = 12 \frac{m}{s}$, der Abwurfwinkel mit $\varphi = 50°$ und die Flugdauer $t_f = 7s$ gegeben.

Beispiel: Schräger Wurf

a) Wie hoch ist das Hochhaus?

Die Höhe des Hochhauses kann über das Ort-Zeit-Gesetz für die $y$-Richtung berechnet werden:

$y(t)  = - \frac{1}{2} g \cdot t^2 + v_{y0} \cdot t$

Hier muss nun die gesamte Flugzeit berücksichtigt werden $t = 7s$:

$y(t=7s)  = - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (7s)^2 + v_{y0} \cdot 7s$

Die Abwurfgeschwindigkeit in $y$-Richtung kann mittels Abwurfwinkel aus der Anfangsgeschwindigkeit berechnet werden:

$v_{y0} = v_0 \cdot \sin(\varphi) = 12 \frac{m}{s} \cdot \sin(50°) $

Einsetzen in die Gleichung ergibt:

$y(t=7s)  = - \frac{1}{2} 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (7s)^2 + 12 \frac{m}{s} \cdot \sin(50°)\cdot 7s$

$y(t=7s)  \approx -176 m$

Die obige Ort-Zeit-Gleichung gilt für eine im Ursprung beginnende Parabel. Die Abwurfstelle und damit das Dach des Hochhauses liegen also im Ursprung des Koordinatensystems. Das Minuszeichen gibt also den negativen $y$-Bereich an, also den Boden auf welchen der Stein aufschlägt. Das Hochhaus hat demnach eine Höhe von $h = 176 m$. 

b) Wie groß ist die Entfernung zwischen der Abwurfstelle und dem Auftreffen des Steins?

Bei der Entfernung von der Abwurfstelle und dem Auftreffen des Steins benötigen wir die Entfernung in $x$- und $y$-Richtung und können dann die tatsächliche Entfernung mittels Satz des Pythagoras bestimmen.

Entfernung

Die Entfernung in $y$-Richtung von der Abwurfstelle zum Auftreffen des Steins beträgt:

$y = 176 m$

Als nächstes benötigen wir den Abstand in $x$-Richtung. Für diesen Abstand wird die Ort-Zeit-Gleichung in $x$-Richtung verwendet. Hier darf nicht die obige Gleichung für die Wurfweite $x_w$ verwendet werden, weil diese nur gilt, wenn Abwurf und Auftreffen auf dem selben Punkt auf der $y$-Achse liegen. Wir verwenden also die allgemeine Ort-Zeit-Gleichung in $x$-Richtung:

$x(t) = v_{x0} \cdot t$

Wir setzen nun ein:

$v_{x0} = v_0 \cdot \cos(\varphi) = 12 \frac{m}{s} \cdot \cos(50°)$

$x(t = 7s) = 12 \frac{m}{s} \cdot \cos(50°) \cdot 7s \approx 54 m$

Es kann als nächstes die Entfernung mittels Satz des Pythagoras bestimmt werden:

$l = \sqrt{y^2 + x^2} = \sqrt{(176m)^2 + (54m)^2} = 184,1 m$

c) Welche maximale Höhe erreicht der Stein? 

Um die maximale Höhe des Stein zu berechnen benötigen wir zunächst die Steighöhe. Diese wird vom Koordinatenursprung aus bestimmt zu:

$y_{max}  = \frac{1}{2} \frac{v_0^2 \cdot \sin^2 (\varphi)}{g} $ 

$y_{max} = \frac{1}{2} \frac{(12 \frac{m}{s})^2 \cdot \sin^2 (50°)}{9,81 \frac{m}{s}} $ 

$y_{max} = 4,3 m$

Da die Höhe vom Boden aus gesucht wird und nicht vom Dach des Hochhauses müssen wir die Höhe des Hochhauses hinzuaddieren:

$h_{max} = 4,3m + 176 m = 180,3 m$.