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Technische Mechanik 3: Dynamik - Geschwindigkeitsvektor

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Geschwindigkeitsvektor

Will man die momentane Geschwindigkeit des Massenpunktes $P$ zu einer bestimmten Zeit $t$ bestimmen, so kann man den Grenzwert der zeitlichen Änderung des Ortsvektors bilden:

$\vec{v} = \lim_{\triangle t \to 0} \frac{r(t + \triangle t) - r(t)}{\triangle t} = \lim_{\triangle t \to 0} \frac{\triangle r}{\triangle t} = \frac{dr}{dt} = \dot{r(t)}$.

Methode

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Geschwindigkeitsvektor $\vec{v} = \dot{r(t)}$.      

Man sieht ganz deutlich, dass der Grenzwert der zeitlichen Änderung des Ortsvektors zur Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit $t$ führt. Es resultiert ein Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$, welcher tangential an der Bahnkurve im betrachteten Punkt liegt. Der Richtungssinn der Geschwindigkeit stimmt mit dem Durchlaufsinn der Bahnkurve überein. Der Punkt über dem $r$ bedeutet einfach, dass der Ortsvektor des Massenpunktes $P$ nach der Zeit $t$ abgeleitet werden muss, um die Geschwindigkeit zu bestimmen.

Setzt man die Zeit $t$ für einen bestimmen Punkt in die Bahnkurve ein, erhält man den Ortsvektor für diesen Punkt. Ist zum Beispiel der Ortsvektor $r(t) = (5t, 4t^2, 3t)$ gegeben, so ist zum Zeitpunkt $t = 2$ der Ortsvektor $r(2) = (10, 16, 6)$. Der Ortsvektor beginnt im Ursprung des Koordinatensystem und zeigt auf den Punkt (10,16,6). Es soll nun auch genau für diese Zeit $t = 2$ der Geschwindigkeitsvektor bestimmt werden.

Die Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$ führt auf den Geschwindigkeitsvektor. In dem hier angeführten Beispiel ergibt sich demnach ein Geschwindigkeitsvektor von $\dot{r(t)} = v(t) = (5, 8t, 3)$. Man erhält zunächst einen allgemeinen Geschwindigkeitsvektor für die betrachtete Bahnkurve. Will man nun für einen bestimmten Punkt den Geschwindigkeitsvektor angeben, so setzt man einfach die Zeit $t$ ein, welche für den betrachteten Punkt gilt. In diesem Beispiel soll für $t = 2$ der Geschwindigkeitsvektor bestimmt werden $v(t) = (5, 16, 3)$. Der Geschwindigkeitsvektor beginnt im Ursprung und zeigt auf den Punkt (5, 16, 3).
Als Nächstes muss man den Geschwindigkeitsvektor in den Ausgangspunkt $(10,16,6)$ verschieben. Dort befindet sich der Punkt zur Zeit $t = 2$ und für diese Zeit ist auch der Geschwindigkeitsvektor bestimmt worden. Der Geschwindigkeitsvektor muss so verschoben werden, dass seine Richtung sich nicht ändert. D.h. er kann auf seiner Wirkungslinie verschoben werden und parallel zu sich selbst. 

Merke

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Wichtig: Der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit $t$ gilt für den Punkt auf der Bahnkurve zur Zeit $t$.

Im kommenden Abschnitt folgen Anwendungsbeispiele zur Bestimmung des Geschwindigkeitsvektor für einen bestimmten Punkt.