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Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes:

Geschwindigkeitsvektor

WebinarTerminankündigung:
 Am 06.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Dynamik) Gradlinige Bewegung eines Massenpunktes
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Will man die momentane Geschwindigkeit des Massenpunktes $P$ zu einer bestimmten Zeit $t$ bestimmen, so kann man den Grenzwert der zeitlichen Änderung des Ortsvektors bilden:

$\vec{v} = \lim_{\triangle t \to 0} \frac{r(t + \triangle t) - r(t)}{\triangle t} = \lim_{\triangle t \to 0} \frac{\triangle r}{\triangle t} = \frac{dr}{dt} = \dot{r(t)}$.

Methode

Geschwindigkeitsvektor $\vec{v} = \dot{r(t)}$.      

Man sieht ganz deutlich, dass der Grenzwert der zeitlichen Änderung des Ortsvektors zur Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit $t$ führt. Es resultiert ein Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$, welcher tangential an der Bahnkurve im betrachteten Punkt liegt. Der Richtungssinn der Geschwindigkeit stimmt mit dem Durchlaufsinn der Bahnkurve überein. Der Punkt über dem $r$ bedeutet einfach, dass der Ortsvektor des Massenpunktes $P$ nach der Zeit $t$ abgeleitet werden muss, um die Geschwindigkeit zu bestimmen.

Geschwindigkeitsvektor Massenpunkt

Setzt man die Zeit $t$ für einen bestimmen Punkt in die Bahnkurve ein, erhält man den Ortsvektor für diesen Punkt. Ist zum Beispiel der Ortsvektor $r(t) = (5t, 4t^2, 3t)$ gegeben, so ist zum Zeitpunkt $t = 2$ der Ortsvektor $r(2) = (10, 16, 6)$. Der Ortsvektor beginnt im Ursprung des Koordinatensystem und zeigt auf den Punkt (10,16,6). Es soll nun auch genau für diese Zeit $t = 2$ der Geschwindigkeitsvektor bestimmt werden.

Die Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$ führt auf den Geschwindigkeitsvektor. In dem hier angeführten Beispiel ergibt sich demnach ein Geschwindigkeitsvektor von $\dot{r(t)} = v(t) = (5, 8t, 3)$. Man erhält zunächst einen allgemeinen Geschwindigkeitsvektor für die betrachtete Bahnkurve. Will man nun für einen bestimmten Punkt den Geschwindigkeitsvektor angeben, so setzt man einfach die Zeit $t$ ein, welche für den betrachteten Punkt gilt. In diesem Beispiel soll für $t = 2$ der Geschwindigkeitsvektor bestimmt werden $v(t) = (5, 16, 3)$. Der Geschwindigkeitsvektor beginnt im Ursprung und zeigt auf den Punkt (5, 16, 3).
Als Nächstes muss man den Geschwindigkeitsvektor in den Ausgangspunkt $(10,16,6)$ verschieben. Dort befindet sich der Punkt zur Zeit $t = 2$ und für diese Zeit ist auch der Geschwindigkeitsvektor bestimmt worden. Der Geschwindigkeitsvektor muss so verschoben werden, dass seine Richtung sich nicht ändert. D.h. er kann auf seiner Wirkungslinie verschoben werden und parallel zu sich selbst. 

Merke

Wichtig: Der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit $t$ gilt für den Punkt auf der Bahnkurve zur Zeit $t$.

Im kommenden Abschnitt folgen Anwendungsbeispiele zur Bestimmung des Geschwindigkeitsvektor für einen bestimmten Punkt.

Multiple-Choice
Gegeben ist der Ortsvektor $ r(t) = (8t, 3t^2, t). Wie sieht der Ortsvektor zum Zeitpunkt $ t = 5 $ aus?
0/0
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses Technische Mechanik 3: DynamikTechnische Mechanik 3: Dynamik
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Technische Mechanik 3: Dynamik

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    • Definition: Massenpunkt
    • Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes
      • Einleitung zu Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes
      • Lage des Massenpunktes
      • Geschwindigkeit eines Massenpunktes
        • Geschwindigkeitsvektor
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