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Physik

Gleichförmige Bewegung

In diesem Abschnitt wird die Gleichförmige Bewegung betrachtet.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Ist die Beschleunigung gleich null, also $a = 0$, so handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung.

Die Beschleunigung ergibt sich aus der Ableitung der Geschwindigkeit $v$. 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a = \dot{v} = \frac{dv}{dt} = 0$.

Bestimmung der Geschwindigkeit

Will man nun die Geschwindigkeit bei gegebener Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a \; dt$

Die bestimmte Integration liefert:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v - v_0 = a(t - t_0)$

Da die Beschleunigung null ist $a = 0$ erkennt man sofort, dass die Geschwindigkeit konstant ist:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = v_0 $

Es ergibt sich also eine konstante Geschwindigkeit, welche als $v_0$ bezeichnet wird. Diese Bewegung, bei welcher die Beschleunigung Null ist und die Geschwindigkeit konstant, nennt man, wie bereits oben erwähnt: Gleichförmige Bewegung.

Bestimmung des Ortes

Um nun daraus den Ort $x$ zu bestimmen muss man nochmals integrieren. Die Geschwindigkeit wurde durch die Ableitung von $x$ nach der Zeit $t$ bestimmt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v_0 = \frac{dx}{dt}$.

Demnach kann man nun den Ort $x$ durch Integration der Geschwindigkeit bestimmen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int_{x_0}^{x} dx = \int_{t_0}^t v_0 \; dt$.

$x - x_0 = v_0 \cdot (t - t_0)$

Damit ergibt sich der Ort $x$ zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $x = x_0 + v_0(t - t_0)$

Das bedeutet also, dass bei einer geradlinigen gleichförmigen Bewegung die obige Formel angewandt werden kann, um den Ort $x$ zu bestimmen.

Anwendungsbeispiel: Gleichförmige Bewegung

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

In diesem Beispiel betrachten wir zwei Pkw, die sich aufeinander zubewegen. Der erste Pkw fährt mit der Geschwindigkeit $v_1 = 63 \frac{km}{h}$ und der Zweite mit der Geschwindigkeit $v_2 = 77 \frac{km}{h}$. Die Straße ist schnurrgerade. Beide Pkw sind voneinander $x= 3500 m$ entfernt.

An welcher Stelle treffen sich die beiden Fahrzeuge?

Gleichförmige Bewegung3


Zuerst müssen wir die Geschwindigkeiten in $\frac{m}{s}$ umrechnen:

$v_1 = 63 \frac{km}{h} \frac{1.000 \frac{m}{km}}{3600 \frac{s}{h}}$     |Kürzen der Einheiten

$v_1 = 63  \frac{1.000 m}{3.600 s} = 17,5 \frac{m}{s}$

Bei $v_2$ wenden wir die gleiche Rechnung an und erhalten so:

$v_2 = 77  \frac{1.000 m}{3.600 s} =21,39 \frac{m}{s}$

Die Gesamtstrecke errechnet sich aus:

Methode

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$x = x_1 + x_2 = 3.500 m$   (1)


Schritt 1:
Aufstellen der Gleichung für die Strecke $x_1$

$\Rightarrow$ Wir haben hier eine gleichförmige Bewegung, d.h. $v_1 = konstant$.

Für die Strecke $x_1$ gehen wir daher von folgendem Sachverhalt aus:

Wie wir wissen, ergibt sich die Geschwindigkeit aus der Ableitung der Strecke nach der Zeit, also:

$v = \frac{dx}{dt} \; \leftrightarrow \; dx = v \cdot dt$

Um die Strecke zu erhalten, müssen wir integrieren:

$\int_0^x dx_1 = v_1 \int_0^t dt$

Wir erhalten:

Methode

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$x_1 = v_1 t$     (2)


Schritt 2: Aufstellen der Gleichung für die Strecke $x_2$

$\Rightarrow$ Auch hier haben wir eine gleichförmige Bewegung, sodass $v_2 = konstant$

Es gilt wie schon in Schritt 1:

$v = \frac{dx}{dt} \; \leftrightarrow \; dx = v \cdot dt$

$\int_0^x dx_2 = v_2 \int_0^t dt$

Methode

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$x_2 = v_2 t$     (3)


Schritt 3: Einsetzen von (2) und (3) in (1):

$x = 3500 m = x_1 + x_2 = v_1 t + v_2 t = t \cdot (v_1 + v_2)$     | nach t umformen

$x = 3500 m = t \cdot (v_1 + v_2)$     |$: (v_1 + v_2)$

$t = \frac{3500 m}{v_1 + v_2}$     |Einsetzen der Werte

$t = \frac{3500 m}{17,5 \frac{m}{s} + 21,39 \frac{m}{s}}$     |Kürzen der Einheiten

$t = \frac{3500 s}{17,5 + 21,39}$

$t = 89,997 s \; \approx \; 90 s$

Beide Pkw treffen sich nach der Zeit $t \approx 90 s$.

Nach welcher Strecke geschieht dies jeweils?

Einsetzen von $t$ in (1):

$x_1 = v_1 t$

$x_1 = 17,5 \frac{m}{s} \cdot 90 s$     |Kürzen der Einheiten

$x_1 = 17,5 m \cdot 90 $

$x_1 = 1.575 m$

Aus der Sicht des ersten Pkw treffen sie sich nach einer Strecke von $x_1 = 1.575 m$. Für den zweiten Pkw sind es $x_2 = 1.925 m$, da dieser mit einer höheren Geschwindigkeit unterwegs ist und so in der Zeit $t = 90 s$ eine größere Distanz zurücklegen kann.