Kursangebot | Technische Mechanik 3: Dynamik | Ort-Zeit-Diagramm

Technische Mechanik 3: Dynamik

Ort-Zeit-Diagramm

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Das Ort-Zeit-Diagramm zeigt den Verlauf der Ortskoordinate $s$ (=Bogenlänge) über die Zeit $t$. Da in diesem Kapitel von einer geradlinigen Bewegung ausgegangen wird, gilt $s = x$.

Ort-Zeit-Diagramm

In der obigen Grafik ist die Ort-Zeit-Kurve $x = \frac{1}{10} t^2 + \frac{1}{2} t + 2$ verwendet worden. Das Ort-Zeit-Diagramm zeigt den Ort $x$ des Punktes $P$ zu einer bestimmten Zeit $t$. So ist z.B. nach $t = 1$ Zeiteinheit der Punkt $P$ bei 2,6 Längeneinheiten (z.B. Meter) angekommen. 

Ausgehend von der obigen Grafik können wir uns vorstellen, dass z.B. ein Auto mit zunehmender Geschwindigkeit in Richtung der zunehmenden Ortskoordinate $x$ fährt. Die zunehmende Ortskoordinate bedeutet, dass hier nur eine positive Steigung vorhanden ist und sich das Auto demnach immer weiter weg vom Ursprung entfernt. Bei einer negativen Steigung würde sich das Auto wieder zurück bewegen (z.B. Rückwärts fahren). Die zunehmende Geschwindigkeit erkennt man an der Steigung in einem Punkt, welche mittels Tangentenvektor (rot) gekennzeichnet ist. Die Geschwindigkeit kann anhand der Steigung in diesem Punkt bestimmt werden durch:

Methode

$v = \frac{dx}{dt}$.

Je größer die Steigung, desto höher die Geschwindigkeit. Im ersten Punkt bei $t = 1$ ist die Steigung kleiner als im Punkt bei $t = 9$. Das bedeutet also, dass die Geschwindigkeit im Punkt $P(t = 9)$ größer ist. Bei einer negativen Steigung existiert eine negative Geschwindigkeit. Diese bedeutet einfach, dass sich das Auto sozusagen rückwärts bewegt. 

Tangentenvektor bestimmen

Um aus dieser expliziten Darstellung $x = f(t)$ den allgemeinen Tangentenvektor für die obige Orts-Zeit-Kurve zu bestimmen, kann man sich der folgenden Formel bedienen:

Methode

$\vec{t} = (1 / \dot{x})$

Der allgemeine Tangentenvektor $\vec{t}$ ist demnach:

Methode

$\vec{v} = (1 / \frac{1}{5} t + \frac{1}{2})$.

Für $t=1$ und $t=9$ ergiben sich dann die Tangentenvektoren: 

Methode

$\vec{v}_{t=1} = (1 / 0,7)$

$\vec{v}_{t=9} = (1 / 2,3)$

Merke

Erinnerung: Die berechneten Tangentenvektoren zeigen vom Ursprung des Koordinatensystems auf den berechneten Punkt. Es muss dann eine Parallelverschiebung dieser Vektoren in den betrachteten Punkt stattfinden. Dabei darf die Richtung der Vektoren nicht verändert werden.

Für z.B. $t=1$ muss der Vektor $\vec{v}_{t=1} = (1 / 0,7)$ in den Punkt $(1 / 2,6)$ verschoben werden. Der Punkt $(1 / 2,6)$ berechnet sich, indem $t = 1$ in die Ausgangsfunktion eingesetzt wird. Es resultiert dann $x = 2,6$.

Bestimmung der Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit berechnet sich, indem die oben gegebene Ortsfunktion $x$ abgeleitet wird:

Methode

$v = \frac{dx}{dt}$

$v = \dot{x} = \frac{1}{5} t + \frac{1}{2}$.

Es können nun für die einzelnen Zeitpunkte die Geschwindigkeiten bestimmt werden:

Methode

$v (t = 1) = 0,7$ Länge/Zeit

$v (t = 9) = 2,3 $ Länge/Zeit

Videos: Aus einem v-t-Diagramm ein x-t-Diagramm aufstellen!