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Technische Mechanik 3: Dynamik

Gleichförmige Kreisbewegung

Nachdem wir die allgemeine Bewegung eines Massenpunktes im Raum sowie die gradlinige Bewegung betrachtet haben, wollen wir uns als nächstes der Kreisbewegung zuwenden. Eine Kreisbewegung ist die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn. Hierbei wird auch wieder der Massenpunkt eines Körpers betrachtet.

In der obigen Grafik ist ein Massenpunkt zu sehen, welcher sich zum Zeitpunkt $t_0$ an dem Winkel $\varphi_0$ befindet und die Geschwindigkeit $\vec{v}$ aufweist, welche tangential an dem Kreis in diesem Punkt liegt.

Zum Zeitpunkt $t_1$ weist der Massenpunkt den Winkel $\varphi_1$ auf und besitzt die Geschwindigkeit $\vec{v}$. 


Wir können dann den Differenzwinkel, den der Massenpunkt überstrichen hat, bestimmen durch: 

$\triangle \varphi = \varphi_1 - \varphi_0$

und die Zeitdifferenz, in welcher der Massenpunkt diesen Differenzwinkel durchläuft mit:

$\triangle t = t_1 - t_0$

Wenn wir davon ausgehen, dass die Kreisbewegung bei $t_0 $ beginnt, dann gilt:

$t_0 = \varphi_0 = 0$ und damit:

$\triangle \varphi = \varphi_1 $

$\triangle t = t_1 $

Gleichförmige Kreisbewegung

Handelt es sich um eine kreisförmige Bewegung mit einer konstanten Bahngeschwindigkeit $|\vec{v}| = v$ so spricht man von einer gleichförmigen Kreisbewegung. Beschreibt ein Körper eine gleichförmige Kreisbewegung, so ändert sich ständig seine Richtung, nicht aber der Betrag seiner Geschwindigkeit $|\vec{v}| = v$.

Tangentialbeschleunigung

Man könnte meinen, dass es sich bei der gleichförmigen Kreisbewegung um eine gleichförmige Bewegung handelt, weil eine konstante Bahngeschwindigkeit $v$ vorliegt. Wir haben aus den vorherigen Abschnitten gelernt, dass bei einer gleichförmigen Bewegung die Beschleunigung gleich Null ist, denn:

$\frac{dv}{dt} = a$

Wenn die Bahngeschwindigkeit $v$ nun also konstant ist, so ist die Ableitung dieser nach der Zeit gleich Null, also $a = 0$. 

Allerdings handelt es sich bei der gleichförmigen Kreisbewegung um eine beschleunigte Bewegung. Grund dafür ist, dass zwar die Schnelligkeit des Körpers konstant bleibt, sich seine Richtung aber ständig ändert, da er sich sonst auf einer Geraden bewegen würde. Wie wir bereits im Abschnitt Bahnbeschleunigung kennengelernt haben, kann die Beschleunigung in eine Tangential- und in eine Normalbeschleungiung unterteilt werden. Die Tangentialbeschleunigung ist dafür zuständig, dass der Körper seine Schnelligkeit verändert. Diese Tangentialbeschleunigung ist bei der gleichförmigen Kreisbewegung gleich Null, da die Bahngeschwindigkeit $v$ konstant ist, es liegt also keine Geschwindigkeitsänderung pro Zeit vor. 

Die Tangentialbeschleunigung ergibt sich zu:

Methode

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Tangentialbeschleunigung: $a_t = \frac{dv}{dt}$  

Die Tangentialbeschleunigung ist also die Ableitung der Bahngeschwindigkeit $v$ nach der Zeit $t$. Ist die Bahngeschwindigkeit $v$ wie im Falle einer gleichförmigen Kreisbewegung also konstant, so ist die Tangentialbeschleunigung $a_t$ gleich Null.

Methode

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$a_t = 0$              für die gleichförmige Kreisbewegung

Normalbeschleunigung

Die Normalbeschleunigung (auch: Radialbeschleunigung, Zentripetalbeschleunigung) ist für die Richtungsänderung eines Körpers zuständig. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist diese ungleich Null, weil der Körper seine Richtung ständig ändern muss, damit dieser sich nicht auf einer Geraden bewegt, sondern eine Kreisbewegung durchführt.

Die Normalbeschleunigung ergibt sich zu:

Methode

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 Normalbeschleunigung: $a_n = \frac{v^2}{r}$  

mit

$v$  Geschwindigkeit

$r$  Krümmungsradius (Abstand vom betrachteten Punkt zum Krümmungsmittelpunkt)

Die Normalbeschleunigung bezeichnet die Richtungsänderung eines Massenpunktes pro Zeit.

Eine volle Umdrehung entspricht dabei einem Winkel von $2 \pi$ Radiant oder 360 Grad. Um die Bogenlänge $s$ zu bestimmen, die ein Körper auf einer Kreisbahn zurücklegt, muss der Radius des Kreises herangezogen werden:

Methode

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$s = 2 \cdot \pi \cdot r$                  Bogenlänge 

Winkelgeschwindigkeit 

Bei Kreisbewegungen wird anstelle der Bahngeschwindigkeit $v$ die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ angegeben. Die Winkelgeschwindigkeit ist dabei definiert als der Quotient aus dem überstrichenen Winkel $\triangle \varphi$ und der dazu benötigten Zeit $\triangle t$:

Methode

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$\omega = \frac{\triangle \varphi}{\triangle t}$                     Winkelgeschwindigkeit

mit

$\triangle \varphi$  Winkeldifferenz

$\triangle t$  Zeitdifferenz

Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ wird der Winkel $\varphi$ im Bogenmaß (Radiant) angegeben.


Betrachtet man infinitesimal kleine Zeitabschnitte $dt$ so erhält man:

Methode

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$\omega = \frac{d \varphi}{dt}$      

Das bedeutet also, die Ableitung des Winkels nach der Zeit $t$ ergibt die Winkelbeschleunigung.  

Trennung der Veränderlichen führt dann auf:

$\omega dt  = d\varphi$    

Integration führt dann wieder auf die obige Formel: 

$\int \omega dt  = \int d\varphi$    

$\omega \cdot (t - t_0) = \varphi - \varphi_0$

Winkel berechnen

Den überstrichenen Winkel $\varphi$ kann man ganz einfach berechnen, indem man die obige Formel nach $\triangle \varphi$ auflöst:

Methode

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$\triangle \varphi = \omega \cdot \triangle t$

bzw.

$\varphi - \varphi_0 = \omega (t - t_0)$

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung überstreicht der Ortsvektor eines Körpers in gleichen Zeitabschnitten $\triangle t$ den selben Winkel $\varphi$. Das bedeutet also, dass die Winkelgeschwindigkeit konstant ist. 

Die Winkelgeschwindigkeit wird in Radiant pro Sekunde angebenen:

Methode

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Einheit: $\frac{rad}{s}$             Winkelgeschwindigkeit

Bei der Winkelgeschwindigkeit handelt es sich - wie bei der Bahngeschwindigkeit - um einen Skalar. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung, bei welcher die Winkelgeschwindigkeit konstant bleibt, existiert also nur eine mögliche Richtung, welche ebenfalls unverändert bleibt. Die Richtung ist senkrecht zur Drehebene. 

Rechte-Hand-Regel

Die Rechte-Hand-Regel ermöglicht die Richtung der Winkelgeschwindigkeit zu bestimmen. Dazu wird die rechte Hand so verwendet, dass die Finger der rechten Hand mit den Innenseiten in die Richtung zeigen müssen, in die auch die Drehbewegung stattfindet. Der Daumen zeigt dann die Richtung der Winkelgeschwindigkeit an. 

Umlaufzeit und Drehzahl

Während einer Umdrehung wird wird ein Winkel von $2 \pi$ überstrichen, die dafür benötigte Umlaufzeit $T$ berechnet sich durch:

Methode

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$T = \frac{2 \pi}{\omega}$           Umlaufzeit

Die obige Formel gibt die Zeit $T$ an, die ein Körper benötigt um bei einer gewissen Winkelgeschwindigkeit $\omega$ eine volle Kreisumdrehung $2 \pi$ durchzuführen.

Die Drehzahl gibt die Anzahl der vollständigen Umdrehungen pro Zeit an:

Methode

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$n = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2 \pi}$          Drehzahl (gleichförmige Kreisbewegung)

Dabei ist $2 \pi$ die vollständige Kreisumdrehung des Körpers, also eine Umdrehung um 360°. Bei gegebener Winkelgeschwindigkeit kann so also die Drehzahl bestimmt werden.

Die Drehzahl besitzt dieselbe Einheit wie die Winkelgeschwindigkeit, wird aber oft in Umdrehungen pro Sekunden angebeben, um die Unterscheidung vornehmen zu können:

Methode

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Einheit: $\frac{1}{s} = \frac{U}{s}$           Drehzahl

Manchmal wird die Drehzahl auch in Hertz angegeben, mit

$\frac{1}{s} = 1 Hz$

Obwohl diese Einheit eher bei Schwingungen verwendet wird.

Winkelgeschwindigkeit/Bahngeschwindigkeit

Aus der Winkelgeschwindigkeit kann die Bahngeschwindigkeit $v$ bestimmt werden oder umgekehrt. Es gilt der folgende Zusammenhang zwischen der Bahngeschwindigkeit und der Winkelgeschwindigkeit:

Methode

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$v = \omega \cdot r = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}$

Die Bahngeschwindigkeit $v$ ist also gleich dem Produkt aus der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ und dem Radius $r$ der Kreisbahn.