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Kursangebot | Physik | Ungleichförmige Kreisbewegung

Physik

Ungleichförmige Kreisbewegung

Achterbahn in einem Looping
Achterbahn in einem Looping

Bei der ungleichförmigen Kreisbewegung ist es nun nicht mehr so, dass die Bahngeschwindigkeit $v$ konstant ist. Beschreibt der Körper eine ungleichförmige Kreisbewegung, so ändert sich sowohl seine Geschwindigkeitsrichtung, als auch der Betrag seiner Geschwindigkeit (Bahngeschwindigkeit). Das wiederum bedeutet, dass neben der Normalbeschleunigung eine Tangentialbeschleunigung gegeben sein muss, die dazu führt, dass sich die Bahngeschwindigkeit ständig ändert. 

Die Ableitung der Bahngeschwindigkeit $v$ nach der Zeit $t$ ergibt die Tangentialbeschleunigung $a_t$. Wenn nun also eine Bahngeschwindigkeit $v(t)$ gegeben ist, die von der Zeit $t$ abhängig ist, also nicht konstant ist, so existiert auch eine Tangentialbeschleunigung:

Methode

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$a_t = \frac{dv(t)}{dt}$                  Tangentialbeschleunigung

Der Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Bahngeschwindigkeit ergibt sich wie folgt (vorheriger Abschnitt):

Methode

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$v = \omega \cdot r $

Ist nun die Bahngeschwindigkeit nicht mehr konstant, also abhängig von der Zeit $t$, so ist ebenfalls die Winkelgeschwindigkeit abhängig von $t$ und demnach ebenfalls nicht mehr konstant:

Methode

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$v(t) = \omega(t) \cdot r $

Winkelgeschwindigkeit

Betrachten wir zur Bestimmung der Winkelgeschwindigkeit den überstrichenen Winkel $\triangle \varphi$ pro Zeitdifferenz $\triangle t$:

Methode

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$\omega(t) = \frac{\triangle \varphi}{\triangle t}$                     Winkelgeschwindigkeit

mit

$\triangle \varphi$  Differenz Endwinkel und Anfangswinkel

$\triangle t$  Differenz Endzeit und Anfangszeit

Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ wird der Winkel $\varphi$ im Bogenmaß (Radiant) angegeben.

Den überstrichenen Winkel kann man ganz einfach berechnen, indem man die obige Formel nach $\triangle \varphi$ auflöst:

Methode

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$\triangle \varphi = \omega(t) \cdot \triangle t$

Bei einer ungleichförmigen Kreisbewegung überstreicht der Ortsvektor eines Körpers in gleichen Zeitabschnitten $\triangle t$ nicht den selben Winkel $\varphi$. Das bedeutet also, dass hier im Gegensatz zur gleichförmigen Kreisbewegung die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ nicht konstant ist, sondern eine beliebige Funktion der Zeit. Der Körper läuft also mal schneller und mal langsamer auf der Kreisbahn um. 

Ist nun die Winkelgeschwindigkeit abhängig von der Zeit $t$, so nutzt man die Integration, indem man anstelle der gesamten Differenzen nur infinitesimal kleine Abschnitte betrachtet:

$d \varphi = \omega(t) \cdot dt$


Und das ganze dann integriert:

Methode

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$\int d \varphi = \int \omega(t) \cdot dt$                 

Normal- und Tangentialbeschleunigung

Bei der ungleichförmigen Kreisbewegung existiert nun neben der Normalbeschleunigung auch die Tangentialbeschleunigung, da sich sowohl die Richtung als auch Schnelligkeit ändert. In diesem Fall tritt also zusätzlich die Tangentialbeschleunigung auf, es liegt also eine Geschwindigkeitsänderung pro Zeit vor. 

Die Tangentialbeschleunigung ergibt sich zu:

Methode

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Tangentialbeschleunigung: $a_t = \frac{dv}{dt}$  


Die Normalbeschleunigung (auch: Radialbeschleunigung, Zentripetalbeschleunigung) ist für die Richtungsänderung eines Körpers zuständig. Bei der ungleichförmigen Kreisbewegung ist diese- wie auch bei der gleichförmigen Kreisbewegung- ungleich Null, weil der Körper seine Geschwindigkeit ständig ändern muss, damit dieser sich nicht auf einer Geraden bewegt, sondern eine Kreisbewegung durchführt.

Die Normalbeschleunigung ergibt sich zu:

Methode

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 Normalbeschleunigung: $a_n = \frac{v^2}{r}$  

mit

$v$  Geschwindigkeit

$r$  Krümmungsradius (Abstand vom betrachteten Punkt zum Krümmungsmittelpunkt)

Die Normalbeschleunigung bezeichnet die Richtungsänderung eines Massenpunktes pro Zeit.

Merke

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Ist die Tangentialbeschleunigung ungleich Null, so ändert der Körper neben seiner Bewegungsrichtung auch der Betrag der Geschwindigkeit mit der Zeit.

Winkelbeschleunigung

Bei der ungleichförmigen Kreisbewegung wird nun anstelle der Tangentialbeschleunigung die Winkelbeschleunigung eingeführt:

Methode

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$\alpha = \frac{\triangle \omega}{\triangle t}$

mit

$\triangle \omega$ Geschwindigkeitsdifferenz

$\triangle t$ Zeitdifferenz


Da bei der ungleichförmigen Kreisbewegung die Winkelgeschwindigkeit abhängig von der Zeit ist, kann man die Winkelbeschleunigung bestimmen zu:

Methode

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$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \dot{\omega}$

Merke

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Die Winkelbeschleunigung $\alpha$ ist die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ nach der Zeit $t$. 


Aus der obigen Gleichung ist es möglich bei gegebener Winkelbeschleunigung die Winkelgeschwindigkeit zu berechnen:

$d\omega = \alpha \; dt$

Integrieren:

Methode

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$\int d\omega = \int \alpha \; dt$

Tangentialbeschleunigung und Winkelbeschleunigung

Der Zusammenhang zwischen der Tangentialbeschleunigung und der Winkelbeschleunigung ist wie folgt gegeben:

Methode

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$\alpha = \frac{a_t}{r}$

mit

$a_t = \frac{dv}{dt}$  Tangentialbeschleunigung

$r$ Kreisradius

Die Tangentialbeschleunigung eines Punktes, ist dabei die zeitliche Ableitung der Bahngeschwindigkeit $v$ nach der Zeit $t$. 

Gesamtbeschleunigung

Bei der ungleichförmigen Kreisbewegung, bei welcher Normal- und Tangentialbeschleunigung ungleich Null sind, weil sich sowohl Richtung als auch Schnelligkeit ändern, kann man die Gesamtbeschleunigung bestimmen zu:

Methode

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$a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$

Die Drehzahl, Umlaufzeit und Frequenz wird wie bei der gleichförmigen Kreisbewegung bestimmt.

Merke

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Wichtig: Die Ableitung des Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$ ergibt den Beschleunigungsvektor $\vec{a_t}$.