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Physik - Bahngeschwindigkeit

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Physik

Bahngeschwindigkeit

Inhaltsverzeichnis

Um den Geschwindigkeitsvektor als Skalar (also als einzige Zahl) angeben zu können, berechnet man die Länge des Geschwindigkeitsvektors. Als Ergebnis erhält man den Betrag der momentanen Bahngeschwindigkeit, welcher in Länge/Zeit (z.B. m/s) angegeben wird:

Methode

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Betrag der Bahngeschwindigkeit: $|v| = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$  

Hierbei handelt es sich um den Betrag der momentanen Bahngeschwindigkeit. Die Richtung ist dem Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$ zu entnehmen.

Es ist ebenfalls möglich die Bahngeschwindigkeit (skalar) aus der Bogenlänge $s$ bestimmen. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Die Bogenlänge $s$ ist die Länge einer Kurve.
Bahngeschwindigkeit Bogenlänge

Die Bahngeschwindigkeit kann also aus der Ableitung der Bogenlänge berechnet werden, sofern die Bogenlänge gegeben ist. Dabei ist die Bogenlänge $s$ der gesamte Weg (nicht die Strecke), welcher der Massenpunkt $P$ zurückgelegt hat. Die Richtung der Geschwindigkeit ist dann durch das Vorzeichen gegeben:

Methode

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Bahngeschwindigkeit (Skalar): $v = \dot{s}$     

Die Ableitung der Bogenlänge $\dot{s}$ ergibt die Bahngeschwindigkeit $v$.  Ist die Strecke $\triangle s > 0$, so ist die Bahngeschwindigkeit positiv, weil sich der Punkt in positive Koordinatenrichtung bewegt. Ist die Strecke $\triangle s < 0$, so ist die Bahngeschwindigkeit negativ, weil sich der Punkt in negative Koordinatenrichtung bewegt. Die Strecke $\triangle s$ ist die Länge der Änderung des Ortsvektors zwischen zwei Punkten (siehe Abschnitt Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes):

$\triangle s = |\vec{\triangle r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Ist also die Bogenlänge $s$ gegeben, so kann diese nach $t$ abgeleitet werden und es ergibt sich die Bahngeschwindigkeit $v$. Die Richtung der Bahngeschwindigkeit (positiv oder negativ) ergibt sich dann aus der Strecke $\triangle s$ wie oben beschrieben:

Methode

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$\triangle s > 0$: positive Bahngeschwindigkeit

$\triangle s < 0$: negative Bahngeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit hat die Dimension $\frac{Länge}{Zeit} $ und die Angabe erfolgt in $\frac{m}{s} $. Es kann natürlich auch ein Vielfaches davon angegeben werden, wie z.B. km/h. 

Mittlere Bahngeschwindigkeit

Es ist ebenfalls möglich einen mittleren Wert der Bahngeschwindigkeit zwischen zwei Punkten anzugeben, die sogenannte mittlere Bahngeschwindigkeit. Bestimmt werden kann die mittlere Bahngeschwindigkeit, indem der Quotient aus Strecke $\triangle s$ und Zeitdifferenz $\triangle t$ gebildet wird: 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Mittlere Bahngeschwindigkeit: $v_m = \frac{\triangle s}{\triangle t}$

mit

$\triangle s$ Wegstrecke

$\triangle t$ Zeitdauer      

Für die mittlere Bahngeschwindigkeit gilt:

  • Die mittlere Bahngeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich der Punkt im Mittel auf der Bahnkurve zwischen den betrachteten Punkten bewegt.
  • Die mittlere Bahngeschwindigkeit gibt nicht die genaue Bewegung zwischen den betrachteten Punkten an, da nur die Strecke und nicht die Bogenlänge berücksichtigt wird.
  • Je näher man aber die betrachteten Punkte aneinander legt, desto genauere Aussagen zur Geschwindigkeit zwischen den betrachteten Punkten können mit Hilfe der mittleren Bahngeschwindigkeit getroffen werden.

Merke

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Zusammenfassung:

Die Ableitung der Bogenlänge $\dot{s}$ nach der Zeit $t$ führt zur Bahngeschwindigkeit $v$. Der Betrag des Geschwindigkeitsvektors führt zum Betrag der Bahngeschwindigkeit $|v|$. Die gerade Strecke zwischen zwei Punkten berechnet sich aus dem Betrag der Änderung des Ortsvektors und wird angegeben mit $\triangle s$. Die mittlere Bahngeschwindigkeit berechnet sich aus dem Quotienten zwischen der Strecke zweier Punkte und der Zeitdifferenz.