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Um den Geschwindigkeitsvektor als Skalar (also als einzige Zahl) angeben zu können, berechnet man die Länge des Geschwindigkeitsvektors. Als Ergebnis erhält man den Betrag der momentanen Bahngeschwindigkeit, welcher in Länge/Zeit (z.B. m/s) angegeben wird:
Methode
Betrag der Bahngeschwindigkeit: $|v| = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$
Hierbei handelt es sich um den Betrag der momentanen Bahngeschwindigkeit. Die Richtung ist dem Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$ zu entnehmen.
Es ist ebenfalls möglich die Bahngeschwindigkeit (skalar) aus der Bogenlänge $s$ bestimmen.
Merke
Die Bahngeschwindigkeit kann also aus der Ableitung der Bogenlänge berechnet werden, sofern die Bogenlänge gegeben ist. Dabei ist die Bogenlänge $s$ der gesamte Weg (nicht die Strecke), welcher der Massenpunkt $P$ zurückgelegt hat. Die Richtung der Geschwindigkeit ist dann durch das Vorzeichen gegeben:
Methode
Bahngeschwindigkeit (Skalar): $v = \dot{s}$
Die Ableitung der Bogenlänge $\dot{s}$ ergibt die Bahngeschwindigkeit $v$. Ist die Strecke $\triangle s > 0$, so ist die Bahngeschwindigkeit positiv, weil sich der Punkt in positive Koordinatenrichtung bewegt. Ist die Strecke $\triangle s < 0$, so ist die Bahngeschwindigkeit negativ, weil sich der Punkt in negative Koordinatenrichtung bewegt. Die Strecke $\triangle s$ ist die Länge der Änderung des Ortsvektors zwischen zwei Punkten (siehe Abschnitt Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes):
$\triangle s = |\vec{\triangle r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
Ist also die Bogenlänge $s$ gegeben, so kann diese nach $t$ abgeleitet werden und es ergibt sich die Bahngeschwindigkeit $v$. Die Richtung der Bahngeschwindigkeit (positiv oder negativ) ergibt sich dann aus der Strecke $\triangle s$ wie oben beschrieben:
Methode
$\triangle s > 0$: positive Bahngeschwindigkeit
$\triangle s < 0$: negative Bahngeschwindigkeit
Die Geschwindigkeit hat die Dimension $\frac{Länge}{Zeit} $ und die Angabe erfolgt in $\frac{m}{s} $. Es kann natürlich auch ein Vielfaches davon angegeben werden, wie z.B. km/h.
Mittlere Bahngeschwindigkeit
Es ist ebenfalls möglich einen mittleren Wert der Bahngeschwindigkeit zwischen zwei Punkten anzugeben, die sogenannte mittlere Bahngeschwindigkeit. Bestimmt werden kann die mittlere Bahngeschwindigkeit, indem der Quotient aus Strecke $\triangle s$ und Zeitdifferenz $\triangle t$ gebildet wird:
Methode
mit
$\triangle s$ Wegstrecke
$\triangle t$ Zeitdauer
Für die mittlere Bahngeschwindigkeit gilt:
- Die mittlere Bahngeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich der Punkt im Mittel auf der Bahnkurve zwischen den betrachteten Punkten bewegt.
- Die mittlere Bahngeschwindigkeit gibt nicht die genaue Bewegung zwischen den betrachteten Punkten an, da nur die Strecke und nicht die Bogenlänge berücksichtigt wird.
- Je näher man aber die betrachteten Punkte aneinander legt, desto genauere Aussagen zur Geschwindigkeit zwischen den betrachteten Punkten können mit Hilfe der mittleren Bahngeschwindigkeit getroffen werden.
Merke
Zusammenfassung:
Die Ableitung der Bogenlänge $\dot{s}$ nach der Zeit $t$ führt zur Bahngeschwindigkeit $v$. Der Betrag des Geschwindigkeitsvektors führt zum Betrag der Bahngeschwindigkeit $|v|$. Die gerade Strecke zwischen zwei Punkten berechnet sich aus dem Betrag der Änderung des Ortsvektors und wird angegeben mit $\triangle s$. Die mittlere Bahngeschwindigkeit berechnet sich aus dem Quotienten zwischen der Strecke zweier Punkte und der Zeitdifferenz.
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