Konstante Vektorgeschwindigkeit

Liegt eine konstante Vektorgeschwindigkeit $\vec{v} = const$ vor, so bleiben Richtung und Geschwindigkeit konstant. Das bedeutet, dass hier eine lineare Funktion gegeben ist, bei welcher die Steigung in jedem Punkt gleich ist.

Superpositionsprinzip: Konstante Geschwindigkeit

Wir wollen für diese Bewegung das Superpositionsprinzip anwenden. Es handelt es sich um eine konstante Geschwindigkeit, d.h. es tritt keine Beschleunigung auf.

Wir betrachten als nächstes die Geschwindigkeiten in $x$- und $y$-Richtung. Liegt nun also eine konstante Geschwindigkeit vor, so gilt:

$v_x = const$

$v_y = const$

Die Geschwindigkeit in $x$- und $y$-Richtung ist also konstant. Mithilfe des Winkels $\varphi$ können die Geschwindigkeiten $v_x$ und $v_y$ aus dem Betrag der Geschwindigkeit $v$ bestimmt werden:

Dabei ist $v = |vec{v}|$ der Betrag der Geschwindigkeit. Dieser kann mittels der folgenden Formel bestimmt werden:

Will man den WInkel $\varphi$ zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und der $x$-Achse bestimmen, so kann der Tangens angewandt werden:

Insgesamt handelt es sich beim Vorliegen einer konstanten Geschwindigkeit um die gleichförmige Bewegung. Da in diesem Fall für beide Koordintanrichtungen eine gleichförmige Bewegung vorliegt, kann das Orts-Zeit-Gesetz aus dem Abschnitt der gleichförmigen Bewegung für die $x$- und $y$-Richtung übernommen werden:

Beginnt die Zeitzählung bei $t_0 = 0$ und $x_0 = 0$ so ergeben sich die Formeln zu:

Anwendungsbeispiel: Konstante Vektorgeschwindigkeit

Wir machen uns zunächst eine Skizze zu dem obigen Beispiel:

Beispiel: Schwimmer mit konstanter Geschwindigkeit

Der Schwimmer startet und möchte eine senkrechte Bahn einhalten (in Richtung $y$-Achse). Die Relativgeschwindigkeit zeigt in Richtung der Wirkungslinie des Schwimmers, also in $y$-Richtung. Tatsächlich bewegt dieser sich aber nicht senkrecht über den Fluss, sondern wird aufgrund der Strömung auf eine schräge Bahn gedrängt. Die Ablsoutgeschwindigkeit zeigt in Richtung der tatsächlichen Bahn des Schwimmers. Die Strömungsgeschwindigkeit ist senkrecht zum Schwimmer, also in Richtung der $x$-Achse. 

a) Welche Geschwindigkeit hat der Schwimmer relativ zum Ufer?

Wir wissen nun aus der obigen Grafik, dass der Schwimmer 20m nach rechts (in $x$-Richtung) abgetrieben wird. Der Fluss ist 40m breit ($y$-Richtung). Der Schwimmer befindet sich auf der rot gekennzeichneten Strecke. Wir konstruieren als nächstes ein rechtwinkliges Dreieck und können dann mittels Tangens den Winkel $\varphi$ bestimmen, welchen der Schwimmer zur Horizontalen ($x$-Achse) aufweist:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

$\tan(\alpha) = \frac{40m}{20m}$

$\alpha = arctan(\frac{40m}{20m}) = 63,43°$

Nachdem wir nun den Winkel $\varphi$ bestimmt haben, können wir uns den Geschwindigkeiten zuwenden. In der Aufgabenstellung ist die Relativgeschwindigkeit gegeben. Das ist die Geschwindigkeit in Richtung der Wirkungslinie des Schwimmers (in Richtung $y$-Achse):

$v_y = 2 \frac{m}{s}$

Wir können die Ablsoutgeschwindigkeit $v$ aus den folgenden Gleichungen bestimmen:

$v_x = v \cdot \cos(\varphi)$

$v_y = v \cdot \sin(\varphi)$

Da $v_y = 2 \frac{m}{s}$ gegeben ist, können wir hier die Absolutgeschwindigkeit $v$ bestimmen:

$v_y = v \cdot \sin(\varphi)$       |auflösen nach $v$

$v = \frac{v_y}{\sin(\varphi)}$    |Einsetzen der Werte

$v = \frac{2 \frac{m}{s}}{\sin(63,43°)} = 2,24 \frac{m}{s}$ 

Die Absolutgeschwindigkeit beträgt $v = 2,24 \frac{m}{s}$.

b) Welche Geschwindigkeit hat der Fluss?

Als nächstes können wir die Strömungsgeschwindigkeit berechnen. Hierbei handelt es sich um die Geschwindigkeit in $x$-Richtung:

$v_x = v \cdot \cos(\varphi)$

$v_x = 2,24 \frac{m}{s} \cdot \cos(63,43°) = 1 \frac{m}{s}$

Die Strömungsgeschwindigkeit beträgt $v = 1 \frac{m}{s}$.

c) In welche Richtung müsste er schwimmen, um direkt am gegenüberliegenden Ufer anzukommen?

Wir sehen in der obigen Grafik, dass der Schwimmer senkrecht schwimmt und aufgrund der Strömung eine schräge Bahn einnimmt. Nun soll der Fall betrachtet werden, dass der Schwimmer direkt auf der anderen Seite ankommt:

Winkel berechnen

In der obigen Grafik ist der Schwimmer zu sehen, welcher eine senkrechte Bahn einhalten soll, damit er genau auf der gegenüberliegenden Seite ankommt. Die Absolutgeschwindigkeit zeigt in Richtung der tatsächlichen Bahn, also in Richtung der $y$-Achse. Die Strömungsgeschwindigkeit ist weiterhin in Richtung der $x$-Achse gegeben. Die Relativgeschwindigkeit des Schwimmers fällt mit seiner Wirkungslinie zusammen. In der obigen Grafik ist die Wirkungslinie eingezeichnet (Skizze). Der Winkel $\varphi$ zwischen der Relativgeschwindigkeit und der Absolutgeschwindigkeit ist in diesem Aufgabenteil zu bestimmen. Diesen Winkel muss der Schwimmer also einhalten (er schwimmt demnach schräg nach links), damit er eine tatsächlich eine senkrechte Bahn schwimmt.

Die Absolutgeschwindigkeit ist der resultierende Vektor. In der obigen Grafik (rechts) sind die beiden Vektoren $v_{rel}$ und $v_{ström}$ mittels grafischer Vektoraddition aneinander gereiht worden. Der resultierende Vektor ist die Absolutgeschwindigkeit $v_{abs}$. Der Winkel zwischen der Absolutgeschwindigkeit und der Relativgeschwindigkeit kann dann mittels Tangens bestimmt werden:

$\tan(\varphi) = \frac{v_{ström}}{v_{abs}}$

$\varphi = arctan(\frac{v_{ström}}{v_{abs}}$

$\varphi = arctan(\frac{1 \frac{m}{s}}{2,24 \frac{m}{s}}$

$\varphi = 24,06 °$