Drehmoment

Drehmoment

Wir haben im vorherigen Abschnitt immer eine Kraft betrachtet, die eine Verschiebung eines Körpers zur Folge hatte. Es ist aber ebenfalls möglich, dass eine Kraft eine Drehung (Rotation) bewirkt.

Erzeugung eines Drehmoments durch Muskelkraft

Für die Drehbewegung eines Körpers ist  nur derjenige Anteil der Kraft von Bedeutung, dessen Wirkungslinie senkrecht (im 90°-Winkel) zur Linie zwischen der Drehachse und dem Angriffspunkt der Kraft steht.

Das Drehmoment kann also berechnet werden durch:

In vektorieller Schreibweise muss das Vektorprodukt gebildet werden:

Es handelt sich hierbei also um das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) aus Kraft $\vec{F}$ und senkrechtem Abstand $\vec{s}$. Dabei ist der resultierende Vektor $\vec{M}$ das Drehmoment. 

Das bedeutet also, dass der Vektors des Drehmoments $\vec{M}$ senkrecht auf den beiden Vektoren $\vec{F}$ und $\vec{s}$ steht.

Betrachten wir dazu ein Beispiel. Wir haben eine Kiste gegeben. Diese Kiste soll um eine vertikale Drehachse gedreht werden:

Drehmoment

Die Drehachse ist auch gleichzeitig die Richtung des Drehmoments. Die Kiste soll nun also um die $z$-Achse gedreht werden. 

Es gibt nun zwei Möglichkeiten, dass sich die Kiste um die $z$-Achse dreht. Einmal eine Kraft die in $y$-Richtung angreift (siehe obige Grafik), natürlich mit einem Abstand zur Drehachse. Dieser Abstand ist dann der senkrechte Abstand $s$ in $x$-Richtung.Eine Drehung erfolgt ebenfalls, wenn eine Kraft in $x$-Richtung angreift, dann ist der senkrechte Abstand derjenige in $y$-Richtung.

Zum besseren Verständis betrachten wir nun die $x,y$-Ebene (Sicht von oben auf die Kiste):

Drehpunkt

Die Drehachse verläuft durch den Drehpunkt. Man kann sich die Drehachse aus der Grafik herauskommend vorstellen. Wir schauen also von oben auf die Kiste drauf. Greift eine Kraft in $x$-Richtung an wird die Kiste um die $z$-Achse gedreht, sofern ein Abstand in $y$-Richtung vorhanden ist. Greift eine Kraft in $y$-Richtung an, wird die Kiste ebenfalls um die $z$-Achse gedreht, sofern ein Abstand in $x$-Richtung gegeben ist. Der Abstand der Kraft zum Drehpunkt ist demnach der Hebelarm $s$. 

Für den obigen Fall in Vektorschreibweise ergeben sich die Kraftvektoren zu:

$\vec{F}_1 = (F_{1x}, 0, 0) $  Zeigt nur in $x$-Richtung

$\vec{F}_2 = (0, F_{2y}, 0) $  Zeigt nur in $y$-Richtung

Für die Wegvekktoren $\vec{s}$ ergibt sich:

$\vec{s}_1 = (0, s_{1y}, 0) $  Weg nur in $y$-Richtung

$\vec{s}_2 = (s_{2x},0, 0) $  Weg nur in $x$-Richtung

Das Moment ergib sich durch Bildung des Kreuzproduktes:

$\vec{M}_1 = \vec{F}_1 \times \vec{s}_1$

$\vec{M}_1  = \begin{pmatrix} F_{1x} \\ 0 \\ 0  \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ s_{1y} \\ 0  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 0 \cdot s_{1y} \\ 0 \cdot 0 - F_{1x} \cdot 0 \\ F_{1x} \cdot s_{1y} - 0 \cdot 0  \end{pmatrix} $ 

$\vec{M}_1  = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ F_{1x} \cdot s_{1y}  \end{pmatrix}$

Es ergibt sich demnach ein Momentenvektor, welcher nur eine Komponente in $z$-Richtung aufweist. Grund dafür ist, dass das Ergebnis eines Kreuzproduktes ein Vektor ist, welcher auf den anderen beiden Vektoren senkrecht steht. Wir haben den Kraftvektor in $x$-Richtung gegeben und den Wegvektor ist $y$-Richtung. Es kann also nur ein Vektor in $z$-Richtung resultieren. Es erfolgt also eine Drehung um die $z$-Achse.

$\vec{M}_2 = \vec{F}_2 \times \vec{s}_2 $

$\vec{M}_2 =  \begin{pmatrix} 0\\ F_{2y} \\ 0  \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} s_{2x} \\ 0 \\ 0  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ F_{2y} \cdot s_{2x}  \end{pmatrix} $

Auch hier ergibt sich nur eine Komponente in $z$-Richtung. Die Drehung erfolgt also um die $z$-Achse.

Skalare Darstellung

Es ist natürlich ebenfalls möglich das Ganze ohne Vektoren abbzubilden:

$M_z = F_1 \cdot s_1$

$M_z = F_2 \cdot s_2$

Hierbei muss nun der senkrechte Abstand $s_1$ der Kraft $F_1$ zum Drehpunkt betrachtet werden. $F_1$ wird dazu gedanklich solange parallel zu sich selbst verschoben, bis die Kraft selbst oder ihre Wirkungslinie den Drehpunkt schneidet. In diesem Fall ist dies dann also der Abstand $s_1$ in vertikale $y$-Richtung. Aufgrund der Grafik kann man dann auch sehen, dass eine Rotation um die z-Achse erfolgt.

Genau so geht man auch mit der Kraft $F_2$ vor. Diese verschiebt man gedanklich solange parallel zu sich selbst, bis die Kraft oder ihre Wirkungslinie den Drehpunkt schneidet. Es ergibt sich demnach der Abstand $s_2$ in $x$-Richtung. Auch hier ist gut erkennbar, dass eine Drehung um die $z$-Achse erfolgt.

Kraft in der Ebene

Wir hatten zwei Kräfte gegeben, die jeweils in $x$- und $y$-Richtung gezeigt haben, also in eine Richtung.  Dies führte in beiden Fällen zu einem Momentenvektor um die $z$-Achse. Wir wollen als nächstes eine Kraft betrachten, die in der Ebene liegt, also in $x$- und in $y$-Richtung zeigt:

Kraft in der Ebene

In der obigen Grafik ist eine Kraft $F$ gegeben, die sich in der $x,y$-Ebene befindet. Sie zeigt sowohl in $x$- als auch in $y$-Richtung. Der senkrechte Abstand dieser Kraft zum Drehpunkt ergibt sich, indem wir die Kraft solange parallel zu sich selbst verschieben, bis die Kraft oder ihre Wirkungslinie den Bezugspunkt schneidet. Diese Parallelverschiebung darf man nur gedacht vornehmen um den Hebelarm zu bestimmen. In der obigen Grafik stellt die gestrichelte Linie die gedachte Parallelverschiebung der Kraft $F$ dar. Verschiebt man die Kraft $F$ also parallel zu sich selbst um $s$, so schneidet die Wirkungslinie der verschobenen Kraft den Drehpunkt. $s$ ist also der senkrechte Abstand und damit der Hebelarm.

Da aber meistens die Abmessungen bzw. Geometrie nicht so gegeben sind, dass dieser Abstand $s$ berechnet werden kann, zerlegt man eine Kraft in der Ebene in ihre $x$- und $y$-Komponenten (Kräftezerlegung):

$F_x = F \cos(\alpha)$

$F_y = F \sin (\alpha)$

Und dann geht man wieder wie oben vor. Es resultieren wieder zwei Momente um die $z$-Achse. 

Gleichgewicht

Es ist natürlich möglich, dass Kräfte an einem Körper mit einem senkrechten Abstand zur Drehachse angreifen und sich der Körper trotzdem nicht dreht, sondern ruht. Dann liegt ein Momentengleichgewicht vor. Dieses Momentengleichgewicht bedeutet einfach, dass die Summe aller Momente auf den Körper gleich null ist. Dann nämlich bewegt sich der Körper nicht mehr, sondern verbleibt in Ruhe: