Zweiseitiger Hebel

Bei einem zweiseitigen Hebel wirken die Gewichtskraft eines Körpers (Last) und die aufzubringende Zugkraft auf verschiedenen Seiten. Der Drehpunkt und damit die Drehachse liegen dazwischen. Der Abstand zwischen der aufzubringenden Zugkraft um den Körper anzuheben und der Drehachse nennt sich Hebelarm oder Kraftarm. 

Zweiseitiger Hebel

Auch hier wird das Drehmoment bestimmt, indem die angreifende Zugkraft mit dem Hebelarm multipliziert wird. Der Hebelarm ist immer der Abstand von der Kraft zum Drehpunkt bzw. zur Drehachse:

Wippe

Eine Wippe stellt ebenfalls einen zweiseitigen Hebel dar:

Wippe

Das Mädchen links und der Junge rechts üben eine Kraft aus, nämliche jeweils ihre Gewichtskraft. Der Baumstamm in der Mitte ist die Drehachse. Wiegt der Junge mehr, so wird das Mädchen auf der linken Seite angehoben und umgekehrt, sofern beide im selben Abstand von der Drehachse sitzen.

Bezeichnen wir nun die Gewichtskraft des Mädchens mit $\vec{G}_1$ und die Gewichtskraft des Jungens mit $\vec{G}_2$ sowie die Abstände zur Drehachse mit $s_1$ und $s_2$, dann gilt für das Gleichgewicht:

$\vec{G}_1 \times \vec{s}_1 = \vec{G}_2 \times \vec{s}_2$

$\rightarrow \; \vec{G}_1 \times S_1 - \vec{G}_2 \times  \vec{s}_2 = 0$

Anwendungsbeispiel: Pyramidenbau

Beispiel

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Wir befinden uns im Jahre 1.353 vor Christus im Reich des Pharao Amenophis IV. Wie schon seine Vorgänger beginnt auch er mit Beginn seiner Amtszeit eine Pyramide zu errichten, die später einmal seine ewige Ruhestätte sein soll.

Die vielen fleißigen Helfer auf der Baustelle stehen vor einer Mamutaufgabe. Sie sollen mit nur einfachsten Hilfsmitteln, einem zweiseitigen Hebel, Steinquader mit der Masse $m = 1,5  t$ anheben.

Die Hebelarme haben die Werte $s_1 = 6  m$ und $s_2 = 1,50  m$.

Wie groß muss die Kraft $F_1$ am Ende des Hebels sein, mit der fünf ägyptische Helfer ziehen müssen, um den Steinquader anheben zu können?

 

Vorarbeit:

Bestimmen der Gewichtskraft $F_2$. Die Kraft ergibt sich aus der Masse multipliziert mit der Beschleunigung. Die Beschleunigung, die auf den Steinquader einwirkt entspricht der Erdbeschleunigung $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$. Die gleiche Beschleunigung, wie sie auch auf jeden von uns einwirkt.

$F_2 = m  \cdot  g$     |Einsetzen der Werte

$F_2 = 1.500  kg  \cdot  9,81 \frac{m}{s^2}$

$F_2 = 14.717 \frac{kg  \cdot  m}{s^2}$

$F_2 = 14.715   N$

Um nun die Kraft $F_1$ berechnen zu können, brauchen wir die Formel für das Drehmoment:

$M = F  \cdot  s$

Genauer gesagt benötigen wir das Drehmoment der Kraft $F_1$ also $M_1$ sowie das Drehmoment $M_2$ der Kraft $F_2$. Beide Drehmomente setzen wir gleich, sodass sich folgende Gleichung ergibt:

$M_1 = M_2$

$F_1  \cdot  s_1 = F_2  \cdot  s_2$

Um nun die Kraft $F_1$ zu bestimmen, müssen wir die Gleichung nach der gesuchten Größe umformen.

$F_1  \cdot  s_1 = F_2  \cdot  s_2$                      |$: s_1$

$F_1 = \frac{F_2  \cdot  s_2}{s_1}$                    |Werte einsetzen

$F_1 = \frac{14.717  N  \cdot  1,50  m}{6  m}$     |Einheiten kürzen

$F_1 = \frac{14.717  N  \cdot  1,50}{6}$

$F_1 = 3.678,75  N  \approx  3.679  N$

$\Rightarrow$ Die fünf ägyptischen Helfer müssen gemeinsam mit einer Kraft von $F_1 = 3.679  N$ ziehen, um den Steinquader anheben zu können.