Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Länge eines Vektors. Die Länge eines Vektors wird in der Mathematik Betrag des Vektors genannt und mit Betragsstrichen gekennzeichnet:
Methode
$|\vec{a}|$ Länge des Vektors $\vec{a}$
Der Betrag eines Vektors ist eine skalare Größe und immer positiv, außer es handelt sich um einen Nullvektor (Betrag gleich Null).
Die Länge eines Vektors $\vec{a} \in \mathbb{R}^n $ kann bestimmt werden durch:
Methode
$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 + ... + a_n^2}$
Anwendungsbeispiel: Länge von Vektoren
Beispiel
Gegeben sei der Vektor $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 5 \end{array} \right)$
Berechne die Länge des Vektors!
$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 7,071$
Einheitsvektor
Merke
Ein Vektor der die Länge $|1|$ besitzt, wird in der Mathematik als Einheitsvektor bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.
Für den Raum existieren drei Einheitsvektoren:
$\vec{e}_x = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$
$\vec{e}_y = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$
$\vec{a}_z = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$
Alle drei Einheitsvektoren weisen die Länge 1 auf:
$|\vec{e}_x | = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$
$|\vec{e}_y | = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$
$|\vec{e}_z | = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$
Mit Hilfe der drei Einheitsvektoren, lässt sich jeder Vektor im dreidimensionalen Raum als Linearkombination der Einheitsvektoren darstellen:
Beispiel
Der Ortsvektor $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} -5\\ 15 \\ 5 \end{array} \right)$ ist dann eine Linearkombination aus den drei Einheitsvektoren:
$\left( \begin{array}{c} -5 \\ 15 \\ 5 \end{array} \right) = -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + 15 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) + 5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$
Normieren von Vektoren
Ist ein Vektor mit der Länge ungleich 1 gegeben, so kann man diesen Vektor normieren. Das bedeutet, dass dieser Vektor nach dem Normieren die Länge 1 aufweist. Das Normieren von Vektoren wird wie folgt vorgenommen:
Methode
In Worten: Eins durch die Länge des Vektors $|\vec{a}|$ mal den Vektor $\vec{a}$.
Anwendungsbeispiel: Länge von Vektoren / Normieren
Beispiel
Gegeben seien die Punkte $A(1,4)$ und $B(4,3)$. Bestimme die Orstvektoren sowie den Richtungsvektor $\vec{AB}$. Bestimme den Abstand zwischen den beiden Punkten!
Es soll nun die Länge des Vektors $\vec{AB}$ berechnet werden. Dieser Vektor geht vom Punkt $A$ zum Punkt $B$, der Pfeil zeigt also auf den Punkt $B$. Die beiden Punkte können mittels der Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden. Diese zeigen vom Koordinatenursprung auf die jeweiligen Punkte:
Es wird zunächst der Vektor $\vec{AB}$ bestimmt, indem der Punkt $A$ vom Punkt $B$ subtrahiert wird. Die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ entsprechen ihren Ortsvektoren. Die Orstvektoren werden bestimmt zu:
$\vec{a} = A(1,4) - P(0,0) = (1,4)$
$\vec{b} = B(4,3) - P(0,0) = (4,3)$.
Als nächstes wird der Richtungsvektor $\vec{AB}$ bestimmt, welcher zwischen den beiden Punkten $A$ und $B$ liegt. Hierfür wird der Punkt $A$ vom Punkt $B$ abgezogen:
$\vec{AB} = B - A = (4,3) - (1,4) = (3, -1)$
Merke
Die Koordinaten des Vektors ergeben 3 Schritte in positive x-Richtung und 1 Schritt in negative y-Richtung. Legt man diesen Richtungsvektor mit dem Anfangspunkt in den Koordinatenursprung, so zeigt dieser auf den Punkt $(3,-1)$. Er fällt dann mit dem Ortsvektor dieses Punktes zusammen.
Der Abstand der beiden Punkte $A$ und $B$ entspricht der Länge des Richtungsvektors $\vec{AB}$:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{10} \approx 3,16$
Merke
Der Richtungsvektor $\vec{BA}$, der im Punkt $B$ beginnt auf den Punkt $A$ zeigt, wird bestimmt durch: $A - B = (-3,1)$.
Die Länge dieses Vektors $\vec{BA}$ ist aber identisch mit der Länge des Vektors $\vec{AB}$ :
$|\vec{AB}| = |\vec{BA}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} \approx 3,16$
Beispiel
Der normierte Vektor wird bestimmt durch:
$\vec{e}_{\vec{AB}} = \frac{1}{|\vec{AB}|} \cdot \vec{AB}$
Es wird nun also der Vektor $\vec{AB}$ durch seine Länge geteilt bzw. mit dem Kehrwert multipliziert:
$\vec{e}_{\vec{AB}} = \frac{1}{3,16} \cdot (3,-1) = \frac{100}{316} \cdot (3,-1) = (0,95, -0,32)$
Der normierte Vektor ist demnach $(0,95, -0,32)$ mit der Länge $1$:
$|\vec{e}_{\vec{AB}}| = \sqrt{(0,95)^2 + (-0,32)^2} \approx 1$
Legen wir diesen normierten Vektor mit dem Anfangspunkt in den Koordinatenursprung, so zeigt dieser auf den Punkt $(0,95 / -0,32)$:
Der Einheitsvektor $\vec{e}_{\vec{AB}}$ mit der Länge 1, zeigt in dieselbe Richtung wie der Vektor $\vec{AB}$. Er ist allerdings kürzer als der Ausgangsvektor, weil der Ausgangsvektor eine Länge von 3,16 aufweist. Der Ausgangsvektor wurde also mit dem Skalar von $\frac{100}{316}$ multipliziert, um auf die Länge von 1 zu gelangen.
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