Inhaltsverzeichnis
In den vorherigen Abschnitten haben wir freie Schwingungen betrachtet, welche nach einmaligen Anstoßen bzw. Auslenken ungestört ausschwingen können. Bei der erzwungenen Schwingung wird der betrachtete Körper bzw. das gesamte System durch eine periodisch einwirkenden äußere Kraft $F_{Err}$ zum Mitschwingen gezwungen.
Die Erreger-Kraft wird bestimmt zu:
Methode
$F_{Err} = \hat{F}_{Err} \cdot \sin(\omega_E \cdot t)$
mit
$\omega_E$ Kreisfrequenz der Erregerkraft
$\hat{F}_{Err}$ Amplitude der Erregerkraft
Die Bewegungsgleichung einer erzwungenen Schwingung wird bestimmt zu:
Methode
$y(t) = A_{Err}(\omega_E) \cdot \sin(\omega_E \cdot t + \varphi_E(\omega_E))$
mit
$ A_{Err}(\omega_E)$ Amplitude
$\varphi_E(\omega_E)$ Phasenverschiebung
Es ist deutlich zu erkennen, dass der schwingende Körper nun nicht mehr mit seiner Kreisfrequenz, sondern mit der Erregerfrequenz $\omega_E$ schwingt.
Die Amplitude bei der erzwungenen Schwingung ist abhängig von der Erregerfreuqenz:
Methode
$A_{Err}(\omega_E) = \frac{\hat{F}_{Err} }{m} \frac{1}{\sqrt{[(\omega^2 - \omega_E^2)^2 + 4 \delta^2 \omega_E^2]}}$
mit
$\omega_E$ Erregerfrequenz
$\omega$ Eigenfrequenz (ungedämft)
$\delta$ Dämfungskonstante
Außerdem muss die folgende Phasenverschiebung berücksichtigt werden:
Methode
$\varphi_E(\omega_E) = arctan(\frac{2 \delta \cdot \omega_E}{\omega^2 - \omega_E^2})$
Im Folgenden sollen drei wichtige Grenzfälle der erzwungenen Schwingung aufgezeigt werden.
Quasistatischer Grenzfall
Der quasistatische Grenzfall liegt dann vor, wenn die Erregerfrequenz $\omega_E$ viel kleiner als die Eigenfrequenz $\omega$ des Körpers ist:
$\omega_E << \omega$
Für diesen Fall vereinfacht sich die Amplitudenfunktion zu:
Methode
$A_{Err} = \frac{\hat{F}_{Err} }{m} \frac{1}{\omega^2}$
Die Amplitudenfunktion ist dann nicht mehr abhängig von der Erregerfrequenz $\omega_E$, sondern von der Kreisfrequenz $\omega$ des jeweiligen Pendels.
Der Nullphasenwinkel $\varphi_E(\omega_E)$ der erzwungenen Schwingung ist dann annähernd null:
Methode
$\varphi_E(\omega_E) \approx 0$
Das bedeutet also, dass hier keine Phasenverschiebung auftritt und die Sinusfunktion im Ursprung beginnt:
Methode
$y(t) = \frac{\hat{F}_{Err} }{m} \frac{1}{\omega^2} \cdot \sin(\omega_E \cdot t)$
Resonanzfall
Liegt der Resonanzfall vor, so entspricht die Erregerfrequenz $\omega_E$ der Resonanzfrequenz $\omega_d = \sqrt{\omega^2 - 2 \delta^2}$:
$\omega_E \approx \omega_R$
Für die Amplitudenfunktion gilt dann:
Methode
$A_{Res}(\omega) = \frac{\hat{F}_{Err} }{m} \frac{1}{2 \delta \sqrt{\omega^2 - \delta^2}}$
Liegt der Resonanzfall vor, so nimmt die Amplitude des Schwingers maximale Werte an. Ist der Dämfungskoeffizient $\delta$ klein, so können die großen Schwingungsamplitude zur Zerstörung des Schwingers führen (=Resonanzkatastrophe).
Hochfrequenter Grenzfall
Dieser Grenzfall liegt vor, wenn die Eigenfrequenz $\omega$ viel kleiner ist als die Erregerfrequenz $\omega_E$:
$\omega << \omega_E$
Ist eine hohe Erregerfrequenz gegeben, so wird die Amplitude sehr klein. Dabei bewegen sich Schwinger und erregende Kraft gegenphasig.
Die Amplitudenfunktion ist annähernd null:
Methode
$A_{Err}(\omega_E) \approx 0$
Der Nullphasenwinkel nimmt annähernd den Wert $\pi$ an:
Methode
$\varphi_E(\omega_E) \approx \pi$
WICHTIG:
Merke
$\omega$ Eigenfrequenz (ungedämpft)
$\omega_d$ Eigenfrequenz (gedämpft)
$\omega_E$ Erregerfrequenz
Anwendungsbeispiel: Erzwungene Schwingung
Beispiel
Gegeben sei ein Schwinger mit der Masse $m = 15g$. Der Schwinger weist eine Eigenfrequenz von $\omega = 13,5 s^{-1}$ auf. Die Dämpfungskonstante sei $\delta = 0,684 s^{-1}$. Dieser Schwinger wird durch eine Erregerschwingung mit der Kraftamplitude $\hat{F}_{Err} = 0,02N$ und der Erregerfrequenz $\omega_E = 10 s^{-1}$ zum schwingen angeregt.
Bestimme den Nullphasenwinkel, sowie die Amplitude der Erregerschwingung!
Zur Bestimmung des Nullphasenwinkels wird die folgende Gleichung verwendet:
$\varphi_E(\omega_E) = arctan(\frac{2 \delta \cdot \omega_E}{\omega^2 - \omega_E^2})$
Einsetzen der Werte ergibt:
$\varphi_E(\omega_E) = arctan(\frac{2 \cdot 0,684 s^{-1} \cdot 10 s^{-1}}{(13,5 s^{-1})^2 - (10 s^{-1})^2})$
$\varphi_E(\omega_E) = 0,165 Rad = 9,45°$
Die Bestimmung der Amplitude der Erregerfunktion ergibt sich durch die Gleichung:
$A_{Err}(\omega_E) = \frac{\hat{F}_{Err} }{m} \frac{1}{\sqrt{[(\omega^2 - \omega_E^2)^2 + 4 \delta^2 \omega_E^2]}}$
Einsetzen der Werte:
$A_{Err}(\omega_E) = \frac{0,02 N}{0,015 kg} \frac{1}{\sqrt{[(13,5 s^{-1})^2 - (10 s^{-1})^2)^2 + 4 \cdot (0,684 s^{-1})^2 \cdot (10 s^{-1})^2]}}$
$A_{Err}(\omega_E) = 0,016m = 1,6 cm$
Beispiel
Bei welcher Erregerkreisfrequenz $\omega_E$ tritt Resonanz auf, und wie groß ist die Resonanzamplitude?
Die Resonanz tritt dann ein, wenn die Erregerkreisfrequenz den Wert der Resonanzfrequenz $\omega_R$ erreicht:
$\omega_R = \sqrt{\omega^2 - 2\delta^2}$
$\omega_R = \sqrt{(13,5 s^{-1})^2 - 2 \cdot (0,684 s^{-1})^2} $
$\omega_R = 13,465 s^{-1}$
Die Resonanz tritt also bei einer Erregerkreisfrequenz von $\omega_E = 13,465 s^{-1}$ auf.
Die Resonanzamplitude beträgt dann:
$A_{Res}(\omega) = \frac{0,02 N }{0,015 kg} \frac{1}{2 \cdot 0,684s^{-1} \sqrt{(13,5 s^{-1})^2 - (0,684 s^{-1})^2}}$
$A_{Res}(\omega) = 0,07229m = 72,29 mm$.
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