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Physik - Bewegungsgleichung: physikalisches Pendel

Kursangebot | Physik | Bewegungsgleichung: physikalisches Pendel

Physik

Bewegungsgleichung: physikalisches Pendel

Auch für das physikalische Pendel werden die drei Bewegungsgleichungen herangezogen und die Eigenfrequenz $\omega$ eingesetzt. Die Funktion $y(t)$ beschreibt die Lage des Pendels in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Dabei ist die Amplitue $A$ der Abstand von der Ruhelage zum Umkehrpunkt (maximale Auslenkung). Wie bei dem Fadenpendel gelten Schwingungen nur für sehr kleine Auslenkungen. Der Abstand von der Ruhelage zum Umkehrtpunkt (=Amplitude) kann also näherungsweise als Strecke $s$ angesehen werden, obwohl tatsächlich ein Kreisbogen $s^*$ vorliegt:

Bewegungsgleichung physikalisches Pendel
Physikalisches Pendel

 
Für die Eigenfrequenz $\omega$ wird innerhalb der Bewegungsgleichungen die Eigenfrequenz des physikalischen Pendels berücksichtigt:

Methode

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$\omega = \sqrt{ \frac{l \cdot m \cdot g}{J}} $


Es ergibt sich demnach für die Bewegungsgleichungen für das Federpendel unter Berücksichtigung der Eigenfrequenz:

Methode

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$y(t) = A \cdot \sin(\sqrt{ \frac{l \cdot m \cdot g}{J}} \cdot t)$      

$v(t) = A \cdot \sqrt{ \frac{l \cdot m \cdot g}{J}} \cdot \cos(\sqrt{ \frac{l \cdot m \cdot g}{J}} \cdot t)$  

$a(t) = -A \cdot  \frac{l \cdot m \cdot g}{J} \cdot \sin(\sqrt{ \frac{l \cdot m \cdot g}{J}} \cdot t)$  


Auch hier kann zur Bestimmung der Lage der Winkel $\varphi$ herangezogen werden:

Methode

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$\varphi(t) = A_{\varphi} \cdot \sin(\omega \cdot t)$     

Dabei ist $A_{\varphi}$ der Winkel von der Ruhelage zum Umkehrpunkt (maximale Auslenkung) und $\varphi(t)$ die Lage des physikalischen Pendels in Abhängigkeit von $t$.

Unter Berücksichtigung der Eigenfrequenz ergibt sich dann:

Methode

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$\varphi(t) = A_{\varphi} \cdot \sin(\sqrt{ \frac{l \cdot m \cdot g}{J}}\cdot t)$     


Die Schwingungsdauer $T$ und Schwingungsfrequenz $f$ eines Federpendels wird dann bestimmt zu (Abschnitt Schwingungsgleichung: physikalisches Pendel):

Methode

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$T =  2 \pi  \sqrt{ \frac{J}{l \cdot m \cdot g}}$$  

$f =  \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{l \cdot m \cdot g}{J}}$ 

Bei dem Fadenpendel und beim physikalischen Pendel beschreibt die Bewegung des Pendelkörpers einen Kreisbogen. Da wir aber von einem sehr kleinen Auslenkwinkel $\varphi$ ausgehen, können wir annähernd davon ausgehen, dass der Kreisbogen mit der Strecke $s$ zusammenfällt. Deswegen stellt die Amplitude $A$ eine Strecke und keinen Kreisbogen dar.