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Physik - Bewegungsgleichung: Fadenpendel

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Physik

Bewegungsgleichung: Fadenpendel

Als nächstes wollen wir die Bewegungsgleichungen für das Fadenpendel angeben, wobei die Eigenfrequenz $\omega$ des Fadenpendels mitberücksichtigt wird. Wir betrachten noch immer die Bewegung aus der Ruhelage, das bedeutet also, dass wir immernoch von der Sinusfunktion ausgehen.

Bei dem Fadenpendel stellt sich eine harmonische Schwingung ein, wenn die Auslenkung minimal ist. Das bedeutet also, dass wir hier von sehr kleinen Auslenkungen ausgehen. Dann können wir die Amplitude (Abstand von Ruhelage zur maximale Auslenkung) als Strecke $s$ annehmen, anstelle der Bogenlänge $s^*$. 

Bewegungsgleichung Fadenpendel
Fadenpendel

Für die Eigenfrequenz $\omega$ wird innerhalb der Bewegungsgleichungen die Eigenfrequenz des Fadenpendels berücksichtigt:

Methode

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$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$


Es ergibt sich demnach für die Bewegungsgleichungen für das Fadenpendel unter Berücksichtigung der Eigenfrequenz:

Methode

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$y(t) = A \cdot \sin(\sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t)$      

$v(t) = A \cdot \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot \cos(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t)$  

$a(t) = -A \cdot \frac{g}{l} \cdot \sin(\sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t)$  


Die Schwingungsdauer $T$ und Schwingungsfrequenz $f$ eines Fadenpendels wird dann bestimmt zu (Abschnitt Schwingungsgleichung: Fadenpendel):

Methode

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$T =  2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$    

$f =  \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$  

Lage des Fadenpendels anhand des Winkels

Es ist ebenfalls möglich die Lage des Fadenpendels mittels Winkelfunktion $\varphi(t)$ anzugeben:

$\varphi(t) = A_{\varphi} \cdot \sin(\omega \cdot t)$          

Dabei ist $A_{\varphi}$ der Winkel von der Ruhelage zum Umkehrpunkt (maximale Auslenkung) und $\varphi(t)$ die Lage des Fadenpendels in Abhängigkeit von $t$.

Unter Berücksichtigung der Eigenfrequenz ergibt sich:

Methode

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$\varphi(t) = A_{\varphi} \cdot \sin(\sqrt{\frac{g}{l}}  \cdot t)$     

Anwendungsbeispiel: Fadenpendel

Beispiel

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Ein an einem Seil hängender Körper führt in 20 Sekunden 5 Perioden aus. Der Weg von einem Umkehrpunkt zum anderen beträgt 25 cm. Wie lang ist das Seil? Berechne die Auslenkung nach 1s, 2s, 3s, 4s und 1 min. Alle Zeiten $t_i$ zählen vom ersten beobachteten Durchgang des Pendels durch seine Nullage.

Wir wissen, dass der Körper in 20 Sekunden 5 Schwingungen ausführt. Wir wollen als nächstes die Schwingungsdauer $T$ bestimmen, so müssen wir die Zeit bestimmen, bis eine Schwingungs durchlaufen ist. Hier kann der Dreisatz angewandt werden:

20s - 5 Schwingungen

x - 1 Schwingung

$x = \frac{20s}{5} = 4s$

Für eine Schwingung benötigt der Körper also $T = 4s$.

Der Abstand zwischen den beiden Umkehrpunkten beträgt 25 cm. Da wir hier harmonische Schwingungen betrachten, welche in der Ruhelage beginnen, kann man diese mit der Sinusfunktion abbilden. Die Amplitude lässt sich aus dem Abstand zwischen den beiden Umkehrpunkten bestimmt. Beide Umkehrpunkte (obere und untere) weisen denselben Abstand von der Ruhelage (t-Achse) auf. Wir können also den Abstand durch zwei teilen und erhalten die Amplitude $A$:

Methode

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$A = \frac{25cm}{2} = 12,5cm$. 

Die Amplitude ist der Abstand von der Ruhelage zur maximalen Auslenkung. Die maximale Auslenkung ist der Umkehrpunkt. 


Die Funktion für die Auslenkung ist der dem Fadenpendel wie folgt:

$y(t) = A \cdot \sin(\sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t)$      


Wir haben die Länge des Seils nicht gegeben, deswegen müssen wir diese berechnen. Es gilt der folgende Zusammenhang:

$T =  2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$  

Quadrieren und nach $l$ auflösen:

$l =  \frac{T^2 \cdot g}{4 \pi^2 }$

Einsetzen der Werte:

Methode

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$l = \frac{4^2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}{4 \pi^2 } = \frac{4 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}{\pi^2}  m$

Das Seil besitzt eine Länge von $l = \frac{4 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}{\pi^2} m$.

Den Bruch lassen wir deshalb stehen, damit wir später keine Rundungsfehler erhalten.

Es kann als nächstes die Auslenkung zu den angegebenen Zeitpunkten bestimmt werden:

Der Term innerhalb der Sinusklammer kann gekürzt werden zu:

$\sqrt{\frac{9,81}{\frac{4 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}{\pi^2} m}} = \frac{\pi}{2}$

$y(t=1) = 0,125 m \cdot \sin(\frac{\pi}{2} \cdot 1s) = 0,125 m$   

$y(t=2) = 0,125 m \cdot \sin((\frac{\pi}{2} \cdot 2s) = 0 m$   

$y(t=2) = 0,125 m \cdot \sin((\frac{\pi}{2} \cdot 3s) = -0,125 m$   

$y(t=2) = 0,125 m \cdot \sin((\frac{\pi}{2}\cdot 4s) = 0 m$   

$y(t=60s) = 0,125 m \cdot \sin((\frac{\pi}{2} \cdot 60s) = 0 m$  

Man kann sich das Ganze auch gut bildlich vorstellen. Eine Schwingung dauert insgesamt 4 Sekunden. Da es sich um eine Sinusfunktion handelt, dauert also eine halbe Schwingung von der Ruhelage bis zur Ruhelage insgesamt 2 Sekunden. Da die Bewegung in der Ruhelage beginnt, befindet sich der Körper zum Zeitpunkt $t =2$ wieder in der Ruhelage, also bei der Auslenkung $y(t=2) = 0$. Genau dasselbe gilt nach 4 Sekunden. Dann ist genau eine Schwingung durchlaufen und der Körper befindet sich wieder in Ruhelage. Zum Zeitpunkt $t =1$ und $t=3$ befindet sich der Körper an den Umkehrpunkte. Die nachfolgende Grafik zeigt die Funktion:

Sinusfunktion
Sinusfunktion