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Physik - Bewegungsgleichung: Federpendel

Kursangebot | Physik | Bewegungsgleichung: Federpendel

Physik

Bewegungsgleichung: Federpendel

Die im vorherigen Abschnitt aufgeführten Bewegungsgleichungen können für das Federpendel so übernommen werden. Die Funktion $y(t)$ beschreibt die Lage des Pendels in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Dabei ist die Amplitue $A$ der Abstand von der Ruhelage zum Umkehrpunkt (maximale Auslenkung). Bei einem horizontalen Federpendel ist die Auslenkung $y(t)$ also ein horizontaler Abstand von der Ruhelage, bei einem vertikalen Federpendel der vertikale Abstand von der Ruhelage zum Umkehrpunkt. 

Für die Eigenfrequenz $\omega$ wird innerhalb der Bewegungsgleichungen die Eigenfrequenz des Federpendels berücksichtigt:

Methode

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$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$


Es ergibt sich demnach für die Bewegungsgleichungen für das Federpendel unter Berücksichtigung der Eigenfrequenz:

Methode

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$y(t) = A \cdot \sin(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t)$      

$v(t) = A \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t)$  

$a(t) = -A \cdot \frac{k}{m} \cdot \sin(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t)$  


Die Schwingungsdauer $T$ und Schwingungsfrequenz $f$ eines Federpendels wird dann bestimmt zu (Abschnitt Schwingungsgleichung: Federpendel):

Methode

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$T =  2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$  

$f =  \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ 

Anwendungsbeispiel 1: Federpendel

Beispiel

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Angenommen ein Sitz mit der Masse 1,5 kg befindet sich auf einer elastischen Feder montiert. Eine Person mit dem Gewicht von 80 kg lässt sich auf den Sitz fallen. Der Sitz und die Person schwingen zusammen mit einer Frequenz von $f = 2 s^{-1}$.

Mit welche Frequenz würde der Sitz alleine schwingen?

Um welche Strecke senkt sich der Sitz, wenn der Fahrer Platz nimmt?

Die Frequenz eines Federpendels lässt sich durch die folgende Funktion bestimmen:

$f =  \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ 

Die Frequenz, wenn der Sitz und die Person zusammen schwingen beträgt:

$f = 2 s^{-1}$

Der Mann und der Sitz schwingen also 2 mal pro Sekunde. Das ergibt also 2mal eine Hin- und Herbewegung pro Sekunde.

Die Masse ist dann die Summe aus beiden Massen:

$m = 1,5 kg + 80 kg = 81,5 kg$

Einsetzen in die Formel:

$2 s^{-1}=  \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{81,5 kg}}$ 

Wir werden diese Gleichung als nächstes nach der Federkonstante $k$ auflösen, weil das unsere Unbekannte ist. Damit wir bestimmen können, mit welcher Frequenz der Sitz alleine schwingt benötigen wir diese Konstante $k$.

Die Gleichung wird zunächst quadriert damit die Wurzel wegfällt:

$4 s^{-2}=  \frac{1}{4 \pi^2} \frac{k}{81,5 kg}$ 

Danach kann nach $k$ aufgelöst werden:

$k = 4 s^{-2} \cdot 4 \cdot \pi^2 \cdot 81,5 kg = 12.869,96 \frac{kg}{s^2}$

Als nächstes kann die Frequenz bestimmt werden, für den Fall dass der Sitz alleine schwingt:

$f =  \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ 


Hier darf nur die Masse des Sitzes berücksichtigt werden:

$f =  \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{12.869,96 \frac{kg}{s^2}}{1,5 kg}}$ 

$f = 14,742 s^{-1}$

Es liegen also 14,742 Schwingungen pro Sekunde vor. Der Sitz schwingt also 14,742 mal pro Sekunde.

Merke

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Die Schwingungsfrequenz $f$ gibt die Anzahl an Schwingungsvorgängen je Sekunde an.

Der nächste Schritt ist die Bestimmung der Auslenkung, wenn sich der Mann auf den Sitz setzt. Der Mann übt eine Kraft auf den Sitz aus in Höhe seiner Gewichtskraft $G = mg = 80 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}$. Diese Kraft drückt den Sitz nach unten und dehnt die Feder. Diese Kraft ist gleich der Spannkraft/Dehnkraft der Feder $F = ks$ die in entgegengesetzte Richtung wirkt:

Es gilt also:

$G =F$:

$80 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = ks$.


Auflösen nach $s$:

$s = \frac{80 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}{k}$

Einsetzen von $k$:

$s = \frac{80 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}{12.869,96 \frac{kg}{s^2}}$

$s = 0,061 m$

Der Sitz senkt sich nach unten um 0,061 Meter, wenn der Mann sich auf den Sitz fallen lässt.